Question

Вершины четырехугольника соединили с серединами его сторон, так как показано на рисунке. Докажите, что площадь закрашенного четырехугольника равна сумме площадей закрашенных треугольников

Answer 1

Добрый день! Я рад выступить в роли вашего школьного учителя. Давайте рассмотрим этот вопрос подробно.

Для начала, обозначим вершины четырехугольника. Пусть это будут точки A, B, C и D. Также обозначим середины сторон как E, F, G и H, причем E - середина стороны AB, F - середина стороны BC, G - середина стороны CD, а H - середина стороны DA.

Для доказательства того, что площадь закрашенного четырехугольника равна сумме площадей закрашенных треугольников, нам потребуется использовать знания о сумме площадей параллелограммов и треугольников.

1. Сначала докажем, что площадь параллелограмма ACHE равна сумме площадей параллелограммов ABFG и CDHG.

Заметим, что сторона AD параллельна стороне BC, поэтому эти стороны длиннейшими, так как кратчайшая дорога между двумя точками - это прямая. Аналогично, сторона AB параллельна стороне CD, поэтому эти стороны также длиннейшими.

Теперь рассмотрим параллельные отрезки AC и EG. Очевидно, что они равны, так как EG - это серединный перпендикуляр к стороне AB, а AC - диагональ параллелограмма ABCD. Аналогично, сторона HE параллельна стороне GF и равна ей.

Таким образом, мы получили, что стороны параллелограмма ACHE равны соответственным сторонам параллелограммов ABFG и CDHG. Значит, эти параллелограммы равны по площади. Поэтому площадь параллелограмма ACHE равна сумме площадей параллелограммов ABFG и CDHG.

2. Теперь докажем, что площадь треугольника EFG равна сумме площадей треугольников ABF и CDG.

Заметим, что сторона EF равна стороне FG, так как это две соседние стороны параллелограмма ABFG. Аналогично, сторона EG равна стороне GH. Также, у треугольников EFG и ABF общая сторона AF, а у треугольников EFG и CDG общая сторона CG.

Поэтому у нас есть три пары равных сторон у треугольников EFG, ABF и CDG. По правилу равенства треугольников, это означает, что эти треугольники равны по площади. То есть, площадь треугольника EFG равна сумме площадей треугольников ABF и CDG.

3. Теперь мы можем сделать заключение.

Закрашенный четырехугольник ADEH можно разбить на два треугольника EFG и EHC. По доказанному нами ранее, площадь треугольника EFG равна сумме площадей треугольников ABF и CDG, а площадь треугольника EHC равна сумме площадей треугольников BFC и CGD.

Таким образом, площадь закрашенного четырехугольника ADEH равна сумме площадей треугольников ABF, CDG, BFC и CGD. Но заметим, что треугольники ABF и BFC вместе образуют параллелограмм ABFC, а треугольники CDG и CGD вместе образуют параллелограмм CGDH.

Площадь параллелограмма ABFC равна сумме площадей треугольников ABF и BFC, а площадь параллелограмма CGDH равна сумме площадей треугольников CDG и CGD.

Таким образом, площадь закрашенного четырехугольника ADEH равна сумме площадей параллелограммов ABFC и CGDH, что является суммой площадей треугольников ABF, BFC, CDG и CGD.

Окончательно, мы доказали, что площадь закрашенного четырехугольника равна сумме площадей закрашенных треугольников.

Надеюсь, ответ был понятен и подробен. Если у тебя возникли еще какие-то вопросы, не стесняйся задавать! Я всегда готов помочь.