Длина отрезка АВ = √(2-(-2))²+(-3-3)²) = √(16+36) = √52 = 2√13. Середина его - начало координат (полусумма координат по х и по у равна 0). Угловой коэффициент а прямой АВ = Δу/Δх = -6/4 = -3/2. Точка С лежит на перпендикуляре к середине отрезка АВ. Коэффициент а₁ в уравнении этой прямой равен -1/а = -1/(-3/2) = 2/3. Уравнение этой прямой у = (2/3)х. Для определения координат точки С надо решить систему уравнений - окружности с радиусом R = √52 с центром в одной из точек А или В и прямой у = (2/3)х. Примем за центр точку В. Решаем систему подстановки значение у из второго уравнения в первое. Получаем, раскрыв скобки и приведя подобные, х² = 351/13 = 27. Отсюда х = +-√27 = +-3√3. у = +-2√3. То есть имеем 2 точки, симметричные АВ, в которых может находиться вершина С(3√3; 2√3) и С(-3√3; -2√3).
1 признак. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм.
Дано: ABCD, AD║ BC, AD = BC. Доказать: ABCD - параллелограмм. Доказательство: Проведем BD. ВС = AD по условию, ∠1 = ∠2 как накрест лежащие при пересечении AD║BC секущей BD, BD - общая сторона для треугольников ABD и CDB, ⇒ ΔABD = ΔCDB по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует, что ∠3 = ∠4, а это накрест лежащие углы при пересечении прямых CD и АВ секущей BD, значит CD║AB. Если в четырехугольнике противоположные стороны параллельны, то это параллелограмм.
2 признак. Если в четырехугольнике противоположные стороны равны, то этот четырехугольник - параллелограмм. Дано: ABCD, AB = CD, BC = AD. Доказать: ABCD - параллелограмм. Доказательство: Проведем BD. ВС = AD по условию, AB = CD по условию, BD - общая сторона для треугольников ABD и CDB, ⇒ ΔABD = ΔCDB по трем сторонам. Из равенства треугольников следует, что ∠1 = ∠2, а это накрест лежащие углы при пересечении прямых ВС и AD секущей BD, значит ВС║AD и ABCD - параллелограмм по первому признаку.
3 признак. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник - параллелограмм. Дано: ABCD, AC∩BD = O, AO = OC, BO = OD. Доказать: ABCD - параллелограмм. Доказательство: AO = OC по условию, BO = OD по условию, ∠АОВ = ∠COD как вертикальные, ⇒ ΔАОВ = ΔCOD по двум сторонам и углу между ними. Значит, AB = CD и ∠1 = ∠2, а это накрест лежащие углы при пересечении прямых АВ и CD секущей АС, значит АВ║CD. ABCD - параллелограмм по первому признаку.
Середина его - начало координат (полусумма координат по х и по у равна 0). Угловой коэффициент а прямой АВ = Δу/Δх = -6/4 = -3/2.
Точка С лежит на перпендикуляре к середине отрезка АВ.
Коэффициент а₁ в уравнении этой прямой равен -1/а = -1/(-3/2) = 2/3.
Уравнение этой прямой у = (2/3)х.
Для определения координат точки С надо решить систему уравнений - окружности с радиусом R = √52 с центром в одной из точек А или В и прямой у = (2/3)х. Примем за центр точку В.
Решаем систему подстановки значение у из второго уравнения в первое.
Получаем, раскрыв скобки и приведя подобные, х² = 351/13 = 27.
Отсюда х = +-√27 = +-3√3.
у = +-2√3.
То есть имеем 2 точки, симметричные АВ, в которых может находиться вершина С(3√3; 2√3) и
С(-3√3; -2√3).