Точки m,n и k - середины ребер ad,bc и ab тетраэдара abcd.на продолжении an за точку n взята точка p так,что ap=2an.через точку p проведена прямая,параллельная плоскости dkc и пересекающая прямую cm в точке q.найдите отношение cq: cm.
Подробное решение. Сделаем рисунок. Очевидно, что треугольники АВС и А1В1С1 подобны. Докажем это. Прямые, которые пересекают плоскости α и β, образуют пересекающиеся прямые.
Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость. притом только одну.
Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то прямые пересечения параллельны.
Следовательно, АВ||А₁В₁, ВС||В₁С₁, АС||А₁С₁ В каждой паре треугольников СОВ и С₁ОВ₁, АОВ и А₁ОВ₁, АОС и А₁ОС₁ соответственно углы равны. Один - как вертикальный, два - как накрестлежащие при пересечении параллельных прямых секущей. Если углы одного треугольника равны углам другого треугольника, зто такие треугольники подобны. Отсюда следует подобие треугольников АВС и ,А₁В₁С₁, т.к. их стороны соответственно пропорциональны. Итак, треугольники подобны. В подобных треугольниках площади относятся как квадрат коэффициента подобия их линейных размеров. Площадь треугольника АВС по формуле Герона равна 84 см² ( давать вычисления не буду, их можно сделать самостоятельно. Замечу, что такое отношение сторон треугольника встречается часто, и эту площадь многие знают наизусть.) Найдем отношение площадей этих подобных треугольников. S(ABC): S (A1B1C1)=336:84=4 k²=4 k=2 Следовательно, стороны треугольника А₁В₁С₁ в два раза больше сторон треугольника АВС и равны А₁В₁=26 см В₁С₁=28 см А₁С₁=30 см Для проверки можно вычислить по ф. Герона площадь треугольника А₁В₁С₁ получим 336 см² ————— [email protected]
Имеем дав прямоугольных треугольника с общим катетом - перпендикуляром к прямой и гипотенузами - наклонными к этой прямой. Второй катет у первого треугольника равен 2*х, у второго = 5*х (так как их отношение 2:5). Тогда по Пифагору квадрат общего катета этих треугольников равен: h² = 10²-4x² (1) и h² = 17² -25x² (2). Приравниваем (1) и (2): 100-4х² = 289 - 25х², откуда 21х² = 189, х² = 9, х = 3. Тогда длина перпендикуляра находится из (1): h = √(100-36) = √64 = 8. ответ: длина перпендикуляра равна 8см.
Проведем дополнительные построения.
Продлим лучи AB,AC,AD.
В плоскости (ВАС) через точку Р проведем прямую (К1С1) ||(KC).
В плоскости (САD) через точку С1 проведем прямую (С1D1) ||(CD).
Плоскость (K1C1D1) параллельна (KCD) и проходит через точку Р.
Прямая (C1D1)-линия пересечения плоскостей (АС1D1) и (K1C1D1).
Прямая (MC) пересекает (C1D1) в точке Q.
Точка Q принадлежит плоскостям (АС1D1) и (K1C1D1).
Прямая (PQ)-искомая прямая, которая проходит через точку Р ,
Параллельная плоскости(DKC) и пересекающая прямую (СМ) в точке Q.
Теперь отношение CQ:CM
В ∆ ACD построим среднюю линию (MA1) || (CD), тогда |АА1| =|СА1|.
В ∆ ABC построим прямую (SA1) ||(KC)|| (K1C1).
Указанные прямые по теореме Фалеса отсекают на сторонах углов < BAN и <NAC
-пропорциональные отрезки.
Точка Е –пересечение медиан , отрезки |NE|=1/3*AN , |AE|=2/3 *AN.
Точка Z – пересечение (АЕ) и (SA1), отрезки |EZ|=|AZ|=1/3*AN.
Тогда PE:EZ=(PN+NE):EZ=(AN+1/3*AN):1/3*AN=4/3*AN:1/3*AN=4:1
∆ QCC1 и ∆ MCA1 –подобные по трем углам.
CQ:CM=CC1:CA1=PE:EZ=4:1
ответ : отношение CQ:CM=4:1