Четырехугольник ABCD симметричен относительно биссектрисы угла A. Какие из следующих утверждений заведомо верны?
1. В четырёхугольнике есть пара равных сторон
2. В четырёхугольнике равны диагонали
3. Через вершину C можно провести ось симметрии четырёхугольника
4. Через вершину B можно провести ось симметрии четырёхугольника
5. Какие-то две стороны четырёхугольника параллельны
6. Точка пересечения диагоналей четырёхугольника является серединой хотя бы одной из них
7. Диагонали четырёхугольника перпендикулярны
8. Диагонали четырёхугольника образуют одинаковые углы с одной из сторон.
Вариант 1,2,5,8 неверен
Пусть есть трехмерная система координат. На каждой из осей надо отложить от начала координат отрезки равной длины в обе стороны. Получится 6 точек, которые и будут вершинами октаэдра.
К примеру, если вершины (0,0,a) (0,0,-a) (0,a,0) (0,-a,0) (a,0,0) (-a,0,0)
то ребро равно c = a√2. Если очень хочется, можно найти, чему равно а при заданной длине ребра c = √6(√2 + 1). a = √3(√2 + 1); Но это не очень существенно.
Легко видеть, что в каждой из плоскостей, содержащих две оси координат, лежат одинаковые квадраты со стороной c.
Вот тут самая важная часть решения.
"С точки зрения вписанного куба" сечения, проходящие через оси XOZ и YOZ - это прямоугольники сo сторонами b и b√2 где b - ребро куба.
Эти сечения проходят через ребро куба, параллельное оси Z и диагонали горизонтальных граней.
В сечении плоскостью XOY лежит квадрат со стороной b, НЕ касающийся квадрата со стороной c (октаэдра).
То есть получается такая задача для нахождения b (при заданном c)
"В квадрат со стороной c = √6(√2 + 1) вписан прямоугольник со сторонами b и b√2, стороны которого параллельны диагоналям квадрата. Надо найти b^2".
Очевидно, что c = (b/2)*√2 + (b√2/2)*√2 = (b√2/2)(√2 + 1);
Отсюда b = 2√3; b^2 = 12;