Билет 1.
1. Точка и прямая - основные фигуры на плоскости. Они не имеют определения. Точка не имеет размеров (длины, ширины, радиуса). Точки обозначаются заглавными латинскими буквами.
Прямая бесконечна. Ее можно представить как туго натянутую нить, бесконечную в обе стороны. На рисунке изображается часть прямой. Прямая обозначается по названию двух точек, лежащих на ней, или строчной латинской буквой.
Отрезок - это часть прямой, ограниченная точками с двух сторон. Точки, ограничивающие отрезок, называются его концами. Отрезок имеет длину. Отрезок обозначается двумя заглавными латинскими буквами - по названию его концов.
2. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство. Построим треугольник А₁В₁С₁, совместив равные стороны АС и А₁С₁ данных треугольников, как на рисунке, так, чтобы вершины В и В₁ оказались по разные стороны от прямой АС.
Тогда ΔВАВ₁ равнобедренный и значит ∠1 = ∠2 как углы при основании равнобедренного треугольника,
ΔВСВ₁ равнобедренный и ∠3 = ∠4, ⇒
∠АВС = ∠АВ₁С и значит ΔАВС = ΔА₁В₁С₁ по двум сторонам и углу между ними.
Билет 2.
1. В зависимости от вида углов треугольники бывают:
остроугольные (все углы острые);прямоугольные (один угол прямой);тупоугольные (один угол тупой);В зависимости от сторон:
разносторонние (нет равных сторон);равнобедренные (две стороны равны);равносторонние (все стороны равны).2. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
Дано: с∩а, c∩b, ∠1 = ∠2.
Доказать: a║b.
Доказательство:
∠3 = ∠1 как вертикальные,
∠2 = ∠1 по условию, значит
∠3 = ∠2, а эти углы - накрест лежащие при пересечении прямых а и b секущей с, значит а║b по первому признаку параллельности прямых (по накрест лежащи углам).
Відповідь:
A1C и DB равен 90°.
Пояснення:
Пусть дан куб ABCDА1B1C1D1, А1С — диагональ куба; DB — диагональ грани куба.
Введем прямоугольную систему координат. С началом координат в т. D и осями, направленными вдоль ребер ОА, ОВ, ОС. Обозначим сторону куба через а.
https://ru-static.z-dn.net/files/db8/7fabd2e163d548ee435973a4d2fc01c5.png
Тогда
1.
https://ru-static.z-dn.net/files/d03/960059a78aaeb368ff09035647522aff.png
2.
https://ru-static.z-dn.net/files/d84/f0e867a68ec10485951a3ce407b94813.png
3.
https://ru-static.z-dn.net/files/d65/90661f99b8c5653eccbb98e37e38d02e.png
Следовательно,
https://ru-static.z-dn.net/files/d73/59578781fa9cf36028faf845653e9834.png
соответственно угол между прямыми
A1C и DB равен 90°.