1. Рисуем плоскости (в виде полуприкрытой книги).
В верхней плоскости выбираем точку А и опускаем из неё перпендикуляр АС на нижнюю плоскость. АС=6 см.
Из точки А проводим перпендикуляр АВ к линии пересечения плоскостей.
АВ=12 см.
Получаем прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С.
Находим угол В через его синус: sinB=AC:AB
sinB=6:12=1/2
B=30 град - это и есть угол между плоскостями.
2.
Даны точки М(3;0;-1), К(1;3;0), Р(4;-1;2). Найдите на оси Ох такую точку А, чтобы векторы МК и РА были перпендикулярны.
вектор МК(1-3;3-0;0+1)=(-2;3;1)
вектор РА(4-х;-1-у; 2-z)
A принадлежит оси ОХ, начит её координаты равны А(х;0;0)
вектор РА(4-х;-1-0; 2-0)=(4-х; -1;2)
векторы перпендикуляны, когда их произведение равно 0.
МК*РА=-2(4-х)+3(-1)+1*2=0
-2(4-х)-3+2=0
-8+2х-1=0
2х=9
х=4,5
А(4,5;0;0) - искомая точка
3. Можно воспользоваться рисунком из первой задачи, причём в верхней плоскости изобразить равносторонний треугольник АВС, основание которого АВ лежит на линии пересечения плоскостей.
1)Из вершины С опускаем два перпендикуляра, один СН на нижнюю плоскость, а второй СF - к линии пересечения плоскостей.
2)Треугольник АВС-равносторонний (по условию), АВ=ВС=АС=m
Высота AF треугольника АВС равна sqr(m^2-(m/2)^2)=msqr(3)/2
3)Теперь найдём расстояние от третьей вершины треугольника до плоскости альфа: АН=sin фи * msqr(3)/2
ABCD- равнобедрренная трапеция, BC и AD - основания трапеции, BD=10м - диагональ, ВК - высота, угол BDK=60 градусов. Рассм треугольник BKD - прямоугольн.т.к. BK перпендикулярно AD. sinBDK=BK/BD, BK=sin60*BD=(корень из 3)/2*10=5 корней из 3. По т. Пифагора BD^2=BK^+KD^2, KD^2=BD^-BK^, KD^=100-75=25. KD=5. По свойствам равнобедренной трапеции (Высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой - полуразности оснований.) KD=(BC+AD)/2=5. Тогда S=(BC+AD)/2*BK=5*5корней из 3=25 корней из3.