Question

Плоскость, проведённая через две образующие конуса,пересекает его основания по хорде, которая видна из центра основания конуса под углом альфа. Угол между проведённой плоскостью и плоскостью основания конуса равен бета. Найдите объем конуса, если радиус его основания равен R.

Answer 1

Плоскость, проведённая через две образующие ( DA и DB ) конуса,пересекает его основания по хорде, которая видна из центра основания конуса под углом α. Угол между проведённой плоскостью и плоскостью основания конуса равен β Найдите объем конуса, если радиус его основания равен R.

Дано:

DA и DB →образующие→ ;

OA = OB = R ;  DO⊥ пл. осн  || DO⊥ ( пл. круга )  ||

∠AOB  = α ;   β = (DAB) ^ (пл. осн)

- - - - - - -

V -?

Решение :   V = (1/3)S*H = (1/3)πR²*DO

В равнобедренном треугольнике AOM  (OA =OB = R ) из вершины O проведем медиану  OM  и точка M соединим с  D _вершиной конуса . OM  одновременно и высота  OM ⊥ AB  и биссектриса   ∠AOM = ∠BOM =(1/2)∠AOB = α/2 .

В треугольнике  ΔAOM :   OM =Rcos(α/2)

ΔDAB тоже  равнобедренный DA =DB (образующие), следовательно  медиана  DM одновременно и высота  DM ⊥ AB .  

DM ⊥ AB и  OM ⊥ AB   ⇒ ∠DMO =β  ( линейный угол)

Из ΔDOM :   DO = OM*tgβ =Rcos(α/2)*tgβ ;    H =DO

V =(1/3)πR²*H =(1/3)πR²*Rcos(α/2)*tgβ =(1/3)cos(α/2)*tgβ πR³

ответ: V = (1/3)cos(α/2)*tgβ πR³   ед. объема