Пока делала рисунки и решала, решение дали. Но второе решение с рисунками не повредит. Плоскость, расстояние до которой от А следует найти - это плоскость ТВА₁. Расстояние от точки до плоскости измеряется перпендикуляром, проведенным из этой точки к плоскости. Искомое расстояние - отрезок АК, перпендикулярный плоскости ТВА₁. Рассмотрим рисунок. ТВ отсекает от основания куба 1/4 часть. Площадь треугольника АТВ=1*1:4=1/4 Фигура АТВА₁ - пирамида с основанием ТВА₁ и высотой АК, которая является и расстоянием от А до плоскости ВТА₁. В вершине А пирамиды сошлись части ребер трёх граней куба. Объем этой пирамиды S АВТ*АА₁:3=1/3*(1*1/4)=1/12 объема куба. Рассмотрим треугольник ВТА₁ -основание этой пирамиды. Он равнобедренный: ТА₁=ТВ ВА₁ - диагональ боковой грани - квадрата со стороной 1 и равна ВА₁=√2 ТА₁=ВТ По теореме Пифагора ТВ²=АВ²+АТ²=1,25 ТВ=√1,25=0,5√5=≈1,12 V=Sh:3=1/12 S треугольника ВТА₁ по формуле Герона равна ≈ 0,61354 Высота пирамиды вычисляется из формулы объема: h=3V:S=1/4:0,61354=0,25:0,61354=0,407 Искомое расстояние от А до плоскости сечения ≈0,407
Обычным методом (не координатным) тут надо немного потрудиться :) Пирамида A1BTA имеет объем V = AA1*AB*AT/6 = 1/12; если найти площадь треугольника A1TB, то и высота пирамиды к этой грани найдется :). Эту площадь легче всего искать так. Пусть М - середина А1В = √2, поскольку A1T = BT, то ТМ - высота А1ВТ к А1В. ТМ находится из треугольника МАТ, АТ = 1/2; MA =√2/2; => МТ = √3/2; Площадь А1ВТ = S = А1В*ТМ/2 = √2*√3/4 = √6/4; отсюда h = 3*V/S = (3/12)/(√6/4) = 1/√6;
Для сравнения - координатный метод дает ответ сам собой. Уравнение плоскости 2x+y+z =1 пишется сразу (это уравнение плоскости "в отрезках", как оси расположены - очевидно - AD это ось X и так далее); ортогональный вектор (2,1,1) имеет норму √6; то есть уравнение плоскости имеет вид nr = 1/√6; где r = (x,y,z); единичный вектор нормали n = (2/√6, 1/√6, 1/√6); в правой части стоит искомое расстояние от начала координат - точки А (0,0,0) до плоскости.
Плоскость, расстояние до которой от А следует найти - это плоскость ТВА₁.
Расстояние от точки до плоскости измеряется перпендикуляром, проведенным из этой точки к плоскости.
Искомое расстояние - отрезок АК, перпендикулярный плоскости ТВА₁.
Рассмотрим рисунок.
ТВ отсекает от основания куба 1/4 часть.
Площадь треугольника АТВ=1*1:4=1/4
Фигура АТВА₁ - пирамида с основанием ТВА₁ и высотой АК, которая является и расстоянием от А до плоскости ВТА₁.
В вершине А пирамиды сошлись части ребер трёх граней куба.
Объем этой пирамиды S АВТ*АА₁:3=1/3*(1*1/4)=1/12 объема куба.
Рассмотрим треугольник ВТА₁ -основание этой пирамиды.
Он равнобедренный: ТА₁=ТВ
ВА₁ - диагональ боковой грани - квадрата со стороной 1 и равна ВА₁=√2
ТА₁=ВТ
По теореме Пифагора
ТВ²=АВ²+АТ²=1,25
ТВ=√1,25=0,5√5=≈1,12 V=Sh:3=1/12
S треугольника ВТА₁ по формуле Герона равна ≈ 0,61354
Высота пирамиды вычисляется из формулы объема:
h=3V:S=1/4:0,61354=0,25:0,61354=0,407
Искомое расстояние от А до плоскости сечения ≈0,407