Центры каждой грани куба являются вершинами выпуклого многогранника, объем которого равен 4,5.
Найдите площадь поверхности куба.
------------------
Многогранник внутри куба - октаэдр- состоит из двух правильных четырехугольных пирамид, в основании которых квадрат. Правильных - т.к. расстояние между центрами соседних граней куба равны. Диагональ этого квадрата соединяет центры противоположных граней куба и потому равна его ребру.
Примем ребро куба равным 2а.
Тогда половина диагонали основания такой пирамиды равна а, а его ребро а√2 ( как гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника с катетами=а)
Объем половины восьмигранника равен объему такой пирамиды:
V=(a√2)²•a/3=2а³/3, а объем октаэдра вдвое больше. ⇒
АВ = CD = (Pabcd - (AD + BC))/2 = (52 - (18 + 8))/2 = (52 - 26)/2 = 26/2 = 13 так как боковые стороны равны.
Проведем высоты ВН и СК. ВН║СК как перпендикуляры к одной прямой, ВН = СК как расстояния между параллельными прямыми, значит ВНКС - прямоугольник. НК = ВС = 8. ΔАВН = ΔDCK по катету и гипотенузе (равенство ВН и СК объяснено выше, АВ = CD так как трапеция равнобедренная), ⇒ АН = DK = (AD - HK)/2 = (18 - 8)/2 = 5. ΔАВН: по теореме Пифагора ВН = √(АВ² - АН²) = √(169 - 25) = √144 = 12
Центры каждой грани куба являются вершинами выпуклого многогранника, объем которого равен 4,5.
Найдите площадь поверхности куба.
------------------
Многогранник внутри куба - октаэдр- состоит из двух правильных четырехугольных пирамид, в основании которых квадрат. Правильных - т.к. расстояние между центрами соседних граней куба равны. Диагональ этого квадрата соединяет центры противоположных граней куба и потому равна его ребру.
Примем ребро куба равным 2а.
Тогда половина диагонали основания такой пирамиды равна а, а его ребро а√2 ( как гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника с катетами=а)
Объем половины восьмигранника равен объему такой пирамиды:
V=(a√2)²•a/3=2а³/3, а объем октаэдра вдвое больше. ⇒
4а³/3=4,5
4а³=13,5
Объем куба с ребром =2а равен (2а)³=8а³=2•4а³
8а³=2•13,5=27
а=∛(27/8)
а=3/2 ⇒ 2а=6/2=3
S куба=6•S грани
S куба=6*3² =54 (ед. площади)