В тетраэдре ABCD AD=a, BD=b, CD=c, медианы грани ABC пересекаются в точке O. Второй тетраэдр симметричен первому относительно середины отрезка DO. Найдите длину ломаной, по которой пересекаются поверхности этих тетраэдров.
В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 на боковых рёбрах AA1 и BB1 взяты середины P и Q.
а) Докажите, что существует прямая `l`, проходящая через точку C и пересекающая обе прямые QA1 и PD1;
б) Найдите отношение CM:MN, где M=l ∩(QA_1), N=l ∩(PD_1).
Смотрите, как лучше рассуждать, чтобы задача была понятной. Граней у тетраэдра четыре, поэтому у нас будет фигура с четыремя вершинами. Далее, все грани одинаковы, поэтому и получившаяся фигура имеет все равные ребра (и грани, конечно). Поэтому это - тоже тетраэдр.
Дальше, центры боковых граней лежат в плоскости, параллельной основанию, которая проходит на высоте 1/3 от высоты пирамиды. Это следует из известного свойства точки пересечения медиан. Эта плоскость должна делить все апофемы в пропорции 2/1, считая от вершины.
Стороны такого сечения равны 2/3 от длины рабра. А основание искомой фигуры получится, если в этом сечении соединить середины сторон. То есть это будет правильный треугольник со стороной 1/3 от ребра.
Таким образом, нам надо найти площадь поверхности тетраэдра с ребром 2 (то есть площадь четырех правильных треугольников со стороной 2).
4*2*2*sin(60)/2 = 4*корень(3).
Вроде так, проверьте :)))