Дан треугольник ABC, биссектрисы которого пересекаются в точке О. Точки D, E, F − середины сторон BC, - id1120560720221107 от grishchenkoale 07.11.2022 17:23

Question

Геометрия: Дан треугольник ABC, биссектрисы которого пересекаются в точке О. Точки D, E, F − середины сторон BC, AC, AB соответственно. К − точка пересечения прямых BО и DE, Q − точка пересечения прямых CО и DF. Прямая КQ пересекает стороны AB и AC в точках М и L соответственно. Докажите, что треугольник AМL − равнобедренный.

grishchenkoale · Accepted Answer

1.
Радиус r вписанной в прямоугольный треугольник определяется по формуле : r =(a+b-c)/2 =(3+4 -√(3²+4²))/2 =(3+4-5)/2 =1.
S =π*r₁² ⇒ r₁ =√(S/π)=√(25/8π) =√((25/4)/2π) = √6,25/√(2π) < 1 = r.
значит можно.
2. Не может.
k₁ , 2k₁ ; k₂ , 2k₂ ; k₃ , 2k₃ .
Если :
AD : DB = 1 : 2 ⇒AD = k₁ , DB = 2k₁ ; AB =3k₁.
BE : EC = 1 : 2 ⇒BE = k₂ , EC = 2k₂ ; BC=3k₂.
CF : FA = 1 : 2 ⇒CF = k₃ , FA = 2k₃ ; AC =3k₃.
DB =BE ⇒k₂ =2k₁ ;
EC =CF ⇒k₃ =2k₂ =4k₁ .
AB =3k₁; BC =3k₂ =6k₁ ; AC =3k₃=3*4k₁ =12k₁
⇒ AB+BC< AC ,что невозможно.

Если :
AD : DB = 1 : 2 ⇒AD = k₁ , DB = 2k₁ ; AB =3k₁.
BE : EC = 2 : 1 ⇒BE = 2k₂ , EC = k₂ ; BC=3k₂.
DB =BE ⇒2k₁=2k₂ ⇒AB =BC тогда точка касания F середина AC.

MOGZ ответил