Question

E – точка пересечения хорд AB и CD. ED=2AE, CE=DE-1, BE=10. Найти CD.

Answer 1

Добрый день! Рассмотрим задачу.

У нас есть данная фигура, где E - точка пересечения хорд AB и CD.

A ________ B
/ \
/ \
/ \
E ------------------\
/ \
/ \
C_________________D

Из условия известно, что ED = 2AE. Заметим, что точка E является серединой хорды AD. Поэтому, если мы обозначим точку F — середину хорды AB, то получится, что EF является высотой треугольника AED.

Так как E является серединой хорды AD, то DE = AE. Поэтому, согласно условию CE = DE - 1, можно записать, что CE = AE - 1.

Также, длина хорды BE равна 10. Поскольку E является серединой AB, то можно выразить EB как 2 * EF.

Определимся с неизвестными сторонами треугольника AED. Обозначим AE за x. Тогда FE будет равно x/2, поскольку E — середина хорды FD, а FB будет равно x.

Теперь можем записать выражения для значений CE, EB и EB.

CE = AE - 1 = x - 1,
EB = 2 * EF = 2 * (x/2) = x,
BE = 10.

Получается, что EB + BE = 2 * EB = 10.

Теперь можем решить уравнение:
2 * x = 10,
x = 10 / 2,
x = 5.

Теперь, когда мы знаем значение AE, можем выразить все остальные значения:

CE = AE - 1 = 5 - 1 = 4,
EB = x = 5.

Таким образом, мы определили все значения сторон треугольника AED.

Теперь, чтобы найти CD, воспользуемся свойством пересечения хорд в окружности: две пересекающиеся хорды в окружности делятся друг на друга таким образом, что произведение длин их отрезков равно.

Мы знаем, что CD является хордой, поэтому можем записать:

CE * DE = AE * EB,
4 * DE = 5 * 5.

Тогда:
DE = (5 * 5) / 4,
DE = 25 / 4.

Таким образом, мы нашли значение DE.

Итак, чтобы найти CD, нам нужно сложить значения DE и CE:
CD = DE + CE = 25/4 + 4.

Для удобства приведем 4 к общему знаменателю:
CD = (25 + 16) / 4.

Таким образом, итоговый ответ: CD = 41/4.