Question

Пирамида пересечена плоскостью, параллельной основанию,
которая делит высоту пирамиды в отношении 5 : 7, считая от вершины.
Вычисли площадь основания, если площадь сечения равна 100 дм2.

Answer 1

Для решения этой задачи нам нужно использовать знания о геометрии пирамиды и плоскостей.

Первое, что нам нужно понять, это как выглядит сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию. В таком случае, сечение будет подобно основанию пирамиды и будет иметь ту же форму. Мы можем представить пирамиду как треугольную пирамиду с основанием-треугольником.

Теперь нам нужно вычислить отношение, в котором плоскость делит высоту пирамиды. По условию, плоскость делит высоту пирамиды в отношении 5:7, считая от вершины. Это означает, что плоскость делит высоту пирамиды на две части, в которых первая часть в 5 раз меньше второй.

Пусть общая высота пирамиды равна Н. Тогда первая часть высоты будет равна (5/12)H, а вторая часть высоты будет равна (7/12)H.

Затем нам нужно найти площадь сечения. По условию она равна 100 дм2. Поскольку площадь сечения подобна площади основания пирамиды, мы можем записать это в виде отношения:

площадь сечения : площадь основания = площадь сечения : площадь основания пирамиды = 100 : S,

где S - искомая площадь основания.

Нам известно, что площадь основания пирамиды пропорциональна квадрату высоты пирамиды. Таким образом, мы можем записать:

площадь основания : площадь основания пирамиды = (S : S₀)² = (S : S₀) * (S : S₀),

где S₀ - изначальная площадь основания пирамиды.

Мы можем решить эту пропорцию, подставив уже известные значения:

(100 : S) = ((5/12)H : H) * ((5/12)H : H),

где H - общая высота пирамиды.

Упростим выходящую пропорцию:

(100 : S) = (5/12) : 1 * (5/12) : 1,

(100 : S) = (5/12)²,

100S = 25.

Разделим обе части уравнения на 100, чтобы найти S:

S = 25/100,

S = 1/4.

Таким образом, получаем, что площадь основания пирамиды равна 1/4 дм2.