Відповідь:
Оскільки пряма перпендикулярна до площини, ми можемо скористатися формулою відстані від точки до площини. Запишемо цю формулу:
d = |ax₀ + by₀ + cz₀ + d₀| / √(a² + b² + c²),
де (x₀, y₀, z₀) - координати точки P, a, b, c - коефіцієнти рівняння площини та d - вільний член рівняння площини.
За умовою, відстань від точки P до площини дорівнює 3 см, тому:
3 = |ax₀ + by₀ + cz₀ + d₀| / √(a² + b² + c²).
Крім того, відстань від точки P до точки площини дорівнює 3√3 см, отже:
3√3 = |ax₀ + by₀ + cz₀ + d₀| / √(a² + b² + c²).
Таким чином, ми маємо систему рівнянь:
3 = |ax₀ + by₀ + cz₀ + d₀| / √(a² + b² + c²),
3√3 = |ax₀ + by₀ + cz₀ + d₀| / √(a² + b² + c²).
Ми можемо помножити обидва рівняння на √(a² + b² + c²), щоб усунути знаменники:
3√(a² + b² + c²) = |ax₀ + by₀ + cz₀ + d₀|,
3√3√(a² + b² + c²) = |ax₀ + by₀ + cz₀ + d₀|.
Враховуючи, що вирази на правій стороні рівностей є модулями, ми отримуємо:
3√(a² + b² + c²) = ax₀ + by₀ + cz₀ + d₀,
3√3√(a² + b² + c²) = ax₀ + by₀ + cz₀ + d₀.
Звідси випливає, що:
3√(a² + b² + c²) = 3√3√(a² + b² + c²).
Скасовуємо спільний множник 3√(a² + b² + c²):
√(a² + b² + c²) = √3√(a² + b² + c²).
Зведемо до квадрату обидві частини рівняння:
a² + b² + c² = 3√(a² + b² + c²).
Тепер зведемо до квадрату обидві частини рівняння ще раз:
a⁴ + b⁴ + c⁴ + 2a²b² + 2a²c² + 2b²c² = 9(a² + b² + c²).
Згрупуємо подібні доданки:
a⁴ + b⁴ + c⁴ - 7(a² + b² + c²) + 2a²b² + 2a²c² + 2b²c² = 0.
Це рівняння містить квадрати змінних a, b, c, а також додаткові доданки. Воно може бути розв'язане для знаходження значень a, b, c, але вони не задані у початковій умові. Тому, на даному етапі не можливо точно знайти значення коренів.
Пояснення:
Оскільки хорда BC видно з центра кола під кутом 60°, то цей кут є центральним кутом. За властивостями центрального кута, довжина хорди BC дорівнює удвічі радіусу кола.
Маємо дані:
AB = √3 см
Кут BOC = 60°
Оскільки хорда BC видно з центра кола під кутом 60°, то кут BAC також дорівнює 60° (дуга BC і хорда BC мають спільний центральний кут).
Розглянемо трикутник ABC. За теоремою косинусів, можемо записати:
AC² = AB² + BC² - 2 * AB * BC * cos(BAC)
Підставляємо відомі значення:
AC² = (√3)² + BC² - 2 * √3 * BC * cos(60°)
AC² = 3 + BC² - 2 * √3 * BC * 0.5
AC² = 3 + BC² - √3 * BC
Оскільки хорда BC дорівнює удвічі радіусу кола, можна записати:
BC = 2 * радіус
Підставляємо це значення:
AC² = 3 + (2 * радіус)² - √3 * (2 * радіус)
AC² = 3 + 4 * радіус² - 2 * √3 * радіус
Оскільки AC - діаметр кола, то можна записати:
AC = 2 * радіус
Підставляємо це значення:
(2 * радіус)² = 3 + 4 * радіус² - 2 * √3 * радіус
4 * радіус² = 3 + 4 * радіус² - 2 * √3 * радіус
2 * √3 * радіус = 3
Розділяємо обидві частини на 2 * √3:
радіус = 3 / (2 * √3)
Раціоналізуємо додатково, множачи верхню і нижню частину на √3:
радіус = (3 / (2 * √3)) * (√3 / √3)
радіус = (3√3) / (2 * 3)
радіус = √3 / 2
Отже, радіус кола дорівнює √3 / 2 см.
Объяснение: