Если стороны АВ и А1В1 подобных треугольников АВС и А1В1С1 равны соответственно 5 и 15, и площадь большего треугольника равна 90, то чему равна площадь меньшего треугольника ОЧЕНЬ
Пусть Н - середина ВС. Т.к. ΔАВС равнобедренный, АН - медиана и высота. АН⊥ВС. АН - проекция МН на плоскость основания, значит, МН⊥ВС по теореме о трех перпендикулярах. ⇒ ∠МНА = 60° - линейный угол двугранного угла между плоскостью МВС и плоскостью основания.
№2) отрезки АВ и СD пересекаются в точке О , которая является серединой каждого из них. а) докажите , что треугольник АОС=треугольнику BOD. Решение: Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, так как СО=ОD, АО=ВО (дано) и <АОС=<DOB как вертикальные. Что и требовалось доказать. б) найдите угол ОАС ,если угол ОDB =20 градусов, угол АОС =115 градусов. Решение: В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. Значит <ACO=<ODB=20°. Тогда <OAC=180°-115°-20°=45°. ответ: <ОАС=45°. №3) в равнобедренном треугольнике с периметром 64 см одна из сторон рана 16 см. Найдите длину боковой стороны треугольника. Решение: Две оставшиеся стороны в сумме равны 64-16=48см. Предположим, что это боковые (равные) стороны. Тогда боковая сторона равна 24см. Если же боковая сторона равна 16см, то основание равно 64-2*16=32см. Такой треугольник по теореме о неравенстве треугольников (большая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон) не существует (так как 16+16=32). ответ: боковая сторона равна 24см. №1) В треугольнике АВС высота ВD делит угол В на два угла,причем угол АВD=40 градусов, угол СВD=10 градусов. а) Докажите ,что треугольник АВС - равнобедренный,и укажите его основание. Решение: В прямоугольном (BD-высота) треугольнике DBC <C=90°-10°=50°. То есть Вв треугольнике АВС углы В и С равны, так как угол В=40°+10°=50° (высота BD делит его на углы 40° и 10° - дано). Следовательно, треугольник АВС равнобедренный с основанием ВС. Что и требовалось. б) Высоты данного треугольника пересекаются в точке О.Найдите угол ВОС. Решение: Треугольник АВС равнобедренный. Проведем высоту АЕ на его основание. Треугольник ВОС также равнобедренный, так как любая точка на высоте АЕ равноудалена от точек В и С. Следовательно <BCO=<OBC=10° (дано), а <ВОС=180°-20°=160° (по сумме углов треугольника). ответ: <ВОС=160°. №2. Отрезки АВ и СD пересекаются в точке О,которая является серединой каждого их них. а)Докажите равенство треугольников АСВ и ВDА. Решение: Четырехугольник АСВD - параллелограмм по признаку: "Если в четырехугольнике диагонали, пересекаясь, точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм". Следовательно, треугольники АСВ и ВDА равны по трем сторонам, так как в параллелограмме противоположные стороны равны, а сторона АВ у них общая. Что и требовалось. б) найдите угол АСВ,если угол СВD=68 градусов. В параллелограмме углы, прилежащие к одной стороне, в сумме равны 180°. Значит <ACD=180°-<CBD или <ACD=180°-68°=112°. ответ: <ACD=112°. №3. Две стороны треугольника равны 0,9 см и 4,9 см.Найдите длину третьей стороны,если она выражается целым числом сантиметров. По теореме о неравенстве треугольника, треугольник существует, если сумма двух его сторон больше третьей стороны. 0,9+4,9=5,8. Значит третья сторона, удовлетворяющая условию, что ее длина выражается целым числом сантиметров, равна 5см. ответ: 5см.
АН⊥ВС.
АН - проекция МН на плоскость основания, значит, МН⊥ВС по теореме о трех перпендикулярах.
⇒ ∠МНА = 60° - линейный угол двугранного угла между плоскостью МВС и плоскостью основания.
ΔАВН: ∠Н = 90°, АВ = 10, ВН = ВС/2 = 8. По теореме Пифагора:
АН = √(АВ² - ВН²) = √(100 - 64) = √36 = 6
ΔМАН: ∠МАН = 90°,
tg∠AHM = MA/AH
MA = AH · tg∠AHM = 6√3
cos∠AHM = AH/MH
MH = AH/cos∠AHM = 6/(1/2) = 12
ΔMAC = ΔMAB по двум катетам (АВ = АС по условию, МА - общий катет) ⇒ Smac = Smab = 1/2 · MA · AC = 1/2 · 6√3 · 10 = 30√3
Smbc = 1/2 · BC · AH = 1/2 · 16 · 12 = 96
Sбок = Smbc + 2 · Smac = 96 + 2 · 30√3 = 96 + 60√3