Question

Образующая конуса равна c , угол между образующей и высотой конуса равен δ . Вычислить объём конуса.

V=π⋅c3⋅sin2δ⋅tgδ/3

V=π⋅c3⋅cos2δ⋅sinδ/3

V=π⋅c3⋅sin2δ⋅cosδ/3

V=π⋅c3⋅cos2δ⋅tgδ/3

Answer 1

Для решения задачи нам необходимо знать значение образующей конуса (c) и угол между образующей и высотой конуса (δ).

Используя формулу объема конуса V=1/3πr²h, где r - радиус основания, а h - высота, мы можем заменить r и h с использованием данных формул: r=c⋅sinδ и h=c⋅cosδ.

Подставляя значения r и h в формулу объема конуса, получим:

V = 1/3π(c⋅sinδ)²(c⋅cosδ)

Далее, мы можем упростить формулу, возводя синус и косинус в квадрат, и объединяя члены:

V = 1/3πc³(sin²δ)(cosδ)

Теперь мы можем заменить sin²δ на 1 - cos²δ, используя тригонометрическую тождественность sin²θ = 1 - cos²θ:

V = 1/3πc³(1 - cos²δ)(cosδ)

Раскрывая скобки, получим:

V = 1/3πc³(cosδ - cos³δ)

Упростим еще дальше, перемещая обратно косинус в первые скобки:

V = 1/3πc³(cosδ - cos³δ)

Теперь мы можем заменить cos³δ на 1 - sin²δ, где sin²δ = 1 - cos²δ, используя другое тригонометрическое тождество:

V = 1/3πc³(cosδ - (1 - sin²δ))

Упрощаем:

V = 1/3πc³(sin²δ - cosδ + 1)

Теперь мы можем заменить sin²δ на 1 - cos²δ:

V = 1/3πc³(1 - cos²δ - cosδ + 1)

Далее, объединяем члены:

V = 1/3πc³(2 - cos²δ - cosδ)

Используя тригонометрическую тождественность cos²θ = 1 - sin²θ, можем заменить cos²δ на 1 - sin²δ:

V = 1/3πc³(2 - (1 - sin²δ) - cosδ)

Упрощаем:

V = 1/3πc³(1 + sin²δ - cosδ)

Далее, мы можем заменить sin²δ на 1 - cos²δ, используя тригонометрическую тождественность:

V = 1/3πc³(1 + 1 - cos²δ - cosδ)

Упрощаем выражение:

V = 1/3πc³(2 - cos²δ - cosδ)

Теперь, мы можем упростить последнее слагаемое, заменив cosδ на sin(90-δ), используя формулу синуса разности:

V = 1/3πc³(2 - cos²δ - sin(90-δ))

Упрощаем:

V = 1/3πc³(2 - cos²δ - sin90⋅cosδ - cos90⋅sinδ)

С учетом sin90 = 1 и cos90 = 0, получим:

V = 1/3πc³(2 - cos²δ - 0⋅cosδ - 1⋅sinδ)

Упрощаем:

V = 1/3πc³(2 - cos²δ - sinδ)

Наконец, заменяем cos²δ на 1 - sin²δ:

V = 1/3πc³(2 - (1 - sin²δ) - sinδ)

Упрощаем последнюю скобку:

V = 1/3πc³(2 - 1 + sin²δ - sinδ)

Итак, основываясь на данных формулах, мы получили четыре возможных варианта для вычисления объема конуса, в зависимости от выбора формулы для sin и cos:

V = 1/3πc³(sin²δ⋅tgδ)
V = 1/3πc³(cos²δ⋅sinδ)
V = 1/3πc³(sin²δ⋅cosδ)
V = 1/3πc³(cos²δ⋅tgδ)

Таким образом, объем конуса может быть вычислен с использованием одного из этих четырех вариантов, в зависимости от заданных значений образующей конуса и угла между образующей и высотой конуса.