Пусть х - высота боковой грани, у - сторона основания пирамиды - равностороннего треугольника, а - искомый угол.
Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в основание окружности.
Радиус такой окружности равен у/2√3.
Площадь основания равна у^2√3/4.
cosa = у/2√3x
Площадь боковой грани (боковые грани равновелики, так как пирамида правильная) равна ху/2.
Общая площадь боковой поверхности равна 1,5ху.
Полная площадь поверхности равна 1,5ху + у^2√3/4
По условию отношение этих площадей равно 0,8.
Потому 1,5ху/(1,5ху + у^2√3/4) = 0,8, откуда у = 1,2х/0,64√3.
Подставляя в выражение для косинуса угла, имеем:
cosa = у/2√3x = 1,2х/(0,64√3 : 2√3)x = 5/16.
Отсюда а = arccos(5/16)
Искомый многогранник можно получить, если вынуть из данной призмы два многогранника равного объема - a1 a b c и c a1 b1 c1. Следовательно, его объем можно рассчитать как разность объемов призмы и двух равных олбъемов этих многогранников.
Объем всей призмы равен 3*4 = 12.
Объем многогранника a1abc равен объему многогранника c a1 b1 c1, так как призма прямая с равносторонним треугольником в основании.
Этот объем составит 1/3 * 4*3 = 4.
Два таких объема будут равны 4*2 = 8.
Объем искомого многогранника a1 b1 b c равен 12 - 8 = 4.
ответ: 4.