. Сумма всех плоских углов всех граней тетраэдра равна сумме углов четырёх треугольников, т. е. 720o, поэтому, если суммы углов при каждой вершине равны, то каждая из этих сумм равна 180o . Обратное: ( – очевидно. . Если R – радиус описанной около тетраэдра сферы, r – радиус вписанной сферы и центры этих сфер совпадают (рис. 1), то точка касания сферы с каждой гранью лежит лежит внутри этой грани и удалена от каждой вершины треугольника на расстояние, т. е. является центром описанной около этого треугольника окружности радиуса .
(8) (4) . В любом тетраэдре перпендикуляры, опущенные из центра O описанной сферы на грани (рис. 1), попадают в центры описанных окружностей, и если радиусы этих окружностей равны R1, то точка O одинаково удалена от всех граней (на расстояние ), а т. к. все грани – остроугольные треугольники, то O – центр вписанной сферы.
( . Если радиусы описанных окружностей граней ABC и DBC тетраэдра ABCD равны, то BAC = BDC, поскольку эти углы острые и опираются на равные дуги BC в равных окружностях (рис. 2). Аналогично для всех пар смежных граней. Таким образом,
Если построить несколько равнобедренных треугольников, то можно заметить, что искомый угол зависит от угла при вершине равнобедренного треугольника... он может быть и тупым и острым))) если в условии треугольник АВС дан, значит известны его элементы, т.е. можно попробовать выразить искомый угол через элементы треугольника АВС))) основание треугольника АВС (я его обозначила b))) даже и не понадобилось... боковую сторону обозначим (а), угол при вершине --гамма использовала известный факт: медиана делит треугольник на два равных по площади и площади треугольников с равными высотами относятся как их основания))) медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины и теорема косинусов)))
Объяснение:
Дано : Окр О (R), ∠MNK=70°, ∪MN:∪NK=20:24.
Найти :∪MN.
Решение.
∠MNK -вписанный и опирается на дугу МК , значит ∪МК=2*70°=140°.
Т.к. ∪MN:∪NK=20:24 , то ∪NK=(24/20)*MN..
Т.к. вся окружность составляет 360° , то составим уравнение ( учитывая , что ∪MN=х)
х+(24/20)*х+140°=360°,
х*(44/20)=220°
х=100°
ответ 100°