Объяснение:
1) Пусть О - центр этого восьмиугольника, тогда ∠АОВ=45° (360/8)
2) В ΔАОВ по теореме косинусов найдем стороны АО и ОВ (треугольник равнобедренный, так как восьмиугольник правильный, значит, АО=ОВ, пусть АО=ОВ=х )
Теорема косинусов для этого треугольника:
АВ²=АО²+ОВ²-2*АО*ОВ*cos∠AOB
a²=x²+х²-2*х*х*cos45°
a²=2x²-2x²*√2/2
Отсюда найдем x=АО=ОВ=a²/(2-√2)
3)Рассмотрим треугольник АОD: в нем, АО=OD, ∠АОD=135°
Так же по теореме косинусов найдем AD:
AD²=AO²+OD²-2*AO*OD*cos∠АОD, при это AO=OD
AD²=(a²/(2-√2))²+(a²/(2-√2))²-2*(a²/(2-√2))²*cos135°
Останется только извлечь корень
Построение:
На прямой "а" Отложим отрезок АВ, равный данной стороне. Из точки В, как из центра, проведем окружность радиуса R=AB. Разделим отрезок АВ пополм, отметим середину отрезка точкой D и из полученной точки D как из центра проведем окружность радиуса r = CD (равного данной медиане). На пересечении этой окружности с окружностью радиуса R отметим точку С. Соединив точки А,В и С получим искомый треугольник АВС.
Доказательство:
В треугольнике АВС стороны АВ и АС равны по построению, а отрезок CD является медианой, так как точка D делит сторону АВ пополам. Следовательно треугольник АВС равнобедренный с медианой, проведенной к боковой стороне, равной данной.