Найдите площадь равнобедренного треугольника с основанием 10см, вписанного в окружность с радиусом 6см, если центр окружности находится внутри треугольника.
А1. ∠САО = ∠МВО как накрест лежащие при пересечении АС║ВМ секущей АВ, ∠СОА = ∠МОВ как вертикальные, ⇒ ΔСОА подобен ΔМОВ по двум углам. СО : ОМ = АС : МВ 10 : ОМ = 15 : 3 ОМ = 10 · 3 : 15 = 2 см СМ = СО + ОМ = 10 + 2 = 12 см
А2. ∠АРК = ∠АСВ как накрест лежащие при пересечении КР║ВС секущей АС, ∠А общий для треугольников АКР и АВС, ⇒ ΔАКР подобен ΔАВС по двум углам. Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия: Pakp : Pabc = AK : AB Pakp = Pabc · AK / AB = (16 + 15 + 8) · 4 / 16 = 39 / 4 = 9,75 см
1) Сумма углов в треугольнике равна 180°. Отсюда сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90. Обозначим меньший угол за х, тогда больший угол равен 8х. Составим уравнение: х+8х=90. х=10°. Значит меньший угол = 10°, больший = 80°
2) Обозначим острый угол, из которого опущена биссектриса, за х. Тогда этот угол разделяется биссектрисой на два равных угла х/2. Прямой угол биссектрисой делится на 2 угла по 45°. Сумма углов в полученном треугольнике: 45+132+х/2=180 х/2=3 х=6°
Тогда третий угол в треугольнике равен 180-90-6=84°
3) Угол 60° биссектрисой разделится на 2 угла 30° Катет, лежащий против угла 30° равен половине гипотенузы: 18/2=9
4) В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90° В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Основание - гипотенуза, значит острые углы равны 45° Из этого следует равенство по двум углам и стороне между ними
∠САО = ∠МВО как накрест лежащие при пересечении АС║ВМ секущей АВ,
∠СОА = ∠МОВ как вертикальные, ⇒
ΔСОА подобен ΔМОВ по двум углам.
СО : ОМ = АС : МВ
10 : ОМ = 15 : 3
ОМ = 10 · 3 : 15 = 2 см
СМ = СО + ОМ = 10 + 2 = 12 см
А2.
∠АРК = ∠АСВ как накрест лежащие при пересечении КР║ВС секущей АС,
∠А общий для треугольников АКР и АВС, ⇒
ΔАКР подобен ΔАВС по двум углам.
Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия:
Pakp : Pabc = AK : AB
Pakp = Pabc · AK / AB = (16 + 15 + 8) · 4 / 16 = 39 / 4 = 9,75 см