∠BCD = 110°
Объяснение:
Пусть точка О = точка пересечения диагоналей АС и BD. Треугольники АОВ, AOD, ВОС и DOC - прямоугольные.
Пусть сторона АВ = d. Тогда в треугольнике АОВ сторона
АО = d·Sin60° (∠CAB = 30° - дано => ∠АВО = 60° по сумме острых углов прямоугольного треугольника). Итак,
АО = d·(√3/2).
В этом же треугольнике ОВ = d/2 (как катет против угла 30°).
В треугольнике ВОС угол ∠ВCО = 50° (90°- ∠DBC), тогда по теореме синусов ОС = ОВ·Sin40/Sin50 = d·(Sin40/2·Sin50).
В прямоугольном треугольнике DAO по теореме синусов
DО/Sin40 = AO/Sin50 => DO = AO·Sin40/Sin50 или
DO = d·(√3/2)·Sin40/Sin50.
Тогда в треугольнике DOC тангенс угла ОСD равен
tg(∠OCD) = DO/OC = (d·(√3/2)·Sin40/Sin50)/(d·Sin40/2Sin50) = √3.
Итак, ∠OCD = arctg√3 = 60°.
∠BCA = 50° (по сумме острых углов треугольника ВОС).
Тогда ∠BCD = ∠OCD+<BCA = 60+50 = 110°.
Пусть первая диагональ ромба d₁, а вторая диагональ ромба d₂.
Тогда d₁/d₂ = 3/4.
Тогда d₁ = 3*t, а d₂ = 4*t.
Найдем формулу площади ромба, разобьем ромб на два треугольника (по первой диагонали), зная что диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам,
тогда S = S₁+S₂ = (1/2)*d₁*(d₂/2) + (1/2)*d₁*(d₂/2) = 2*(1/2)*d₁*(d₂/2) =
= d₁*d₂/2.
S = d₁*d₂/2.
d₁ = 3t,
d₂ = 4t,
S = (3t)*(4t)/2 = 6*t² = 54 см², отсюда найдем t
t² = 54/6 см² = 9 см²,
t = √( 9см²) = 3 см.
Тогда d₁ = 3t = 3*3см = 9см,
d₂ = 4t = 4*3см = 12 см.
ответ. 9см и 12см.
1. S = a·b = 5·9 = 45 (cm²)
2. S = a·a = a² = 7·7 = 49 (cm²)
3. 12 = a²+a²
12 = 2a²
a² = 6
a = √6 (cm)
S = a² = (√6)² = 6 (cm²)