Тема «Треугольники»
1 вариант
1. Периметр равнобедренного треугольника равен 70 см. Найдите длины сторон треугольника, если его основание в 2 раза меньше боковой стороны.
2. В равнобедренном треугольнике с основанием АС провели высоту ВД. Найдите её длину, если периметр треугольника АВС равен 50 см, а периметр треугольника АВД – 40 см.
3. В равнобедренном треугольнике АВС на боковых сторонах АВ и ВС соответственно отметили точки N и М так, что угол МАВ равен углу NСВ. Докажите, что АN=СМ.
4. Сформулируйте свойства прямоугольных треугольников.
А)Дан прямоугольный треугольник МКР. МР=15 см, КР=30 см. Найдите угол Р.
Б)Дан треугольник АВС. АВ=АС=7 см, АМ – высота, МС = 3,5 см. Найдите углы В и С.
5. Какой треугольник называется прямоугольный? Как называются стороны прямоугольного треугольника?
А)Дан прямоугольный треугольник АВС. Угол В=60, АВ=10 см. Найдите ВС.
Б)Дан треугольник РКЕ. Угол К=90. Внешний угол Р=150, КЕ=9 см. КС – высота. Найдите СЕ.
2 вариант
1. Периметр равнобедренного треугольника равен 46 см. Найдите длины сторон треугольника, если его основание на 4 см. больше боковой стороны.
2. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС провели биссектрису ВД, длина которой 17 см. Найдите периметр треугольника АВД, если периметр треугольника АВС равен 68см.
3. В равнобедренном треугольнике АВС на боковых сторонах АВ и ВС соответственно отметили точки Д и Е так, что АД равно СЕ. Докажите, что АЕ=СД.
4. Сформулируйте свойства прямоугольных треугольников.
А)Дан прямоугольный треугольник МКР. МР=15 см, КР=30 см. Найдите угол Р.
Б)Дан треугольник АВС. АВ=АС=7 см, АМ – высота, МС = 3,5 см. Найдите углы В и С.
5. Какой треугольник называется прямоугольный? Как называются стороны прямоугольного треугольника?
А)Дан прямоугольный треугольник АВС. Угол В=60, АВ=10 см. Найдите ВС.
Б)Дан треугольник РКЕ. Угол К=90. Внешний угол Р=150, КЕ=9 см. КС – высота. Найдите СЕ.
α, α+β, α+2β
где β - разность арифметической прогрессии.
По свойству углов треугольника
α+(α+β)+(α+2β)=180°
3α+3β=180°
α+β=60°
Стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию с разностью d. Тогда их величины составляют:
a, b=a+d, c=a+2d
По теореме косинусов
b²=a²+c²-2ac cos60°
(a+d)²=a²+(a+2d)²-2a(a+2d)*0.5
a²+2ad+d²=a²+a²+4ad+4d²-a²-2ad
2ad+d²=4ad+4d²-2ad
d²=4d²
Это равенство справедливо лишь при d=0. Т.е. разность арифметической прогрессии равна 0, а это значит, что все стороны треугольника равны. Треугольник равносторонний. В свою очередь, это означает, что все углы треугольника одинаковы и равны 60°
ответ: 60°, 60°, 60°