В любом треугольнике расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности со стороной треугольника, выходящей из данной вершины, есть разность полупериметра треугольника и стороны, противолежащей данной вершине:
AK = AM = p – BC.
Пусть окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон AB, BC и AC этого треугольника соответственно в точках K, L и M (см. рис. на с. 38) Так как отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны, то AK = AM = x, BK = BL = y,
CL = CM = z. Пусть стороны треугольника равны AB = c, BC = a и AC = b. Имеем:
x+y=c b+c-a
y+z=a ⇒x= 2=p-a
x+z=b
Если двугранные углы при основании пирамиды равны, то основание высоты пирамиды - это центр вписанной в треугольник основания окружности.
Находим боковые стороны "в" и "с" основания:
в = с = √((12/2)² + 10²) = √(36 + 100) = √136 = 2√34.
Площадь основания S = (1/2)*12*10 = 60 см².
Полупериметр р = (2*2√34 + 12)/2 = (2√34 + 6) см.
Радиус вписанной окружности r = S/p = 60/(2√34 + 6 = 30/(√34 + 3).
Так как угол наклона боковых граней равен 45 градусов, то высота пирамиды равна радиусу вписанной окружности.
ответ: Н = r = 30/(√34 + 3).