Question

Докажите, что четырехугольник АВСД с вершинами А(2,1,2), B(4,-4,0), C(0,-3,-4), Д(-2,2,-2) является ромбом.

Answer 1

Чтобы доказать, что четырехугольник АВСД является ромбом, нам нужно проверить несколько свойств этой фигуры.

1. Проверка длин сторон:

Для начала, найдем длины всех сторон. Мы можем использовать формулу для вычисления расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

Длина стороны АВ = √((x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²)
= √((4-2)² + (-4-1)² + (0-2)²)
= √(2² + (-5)² + (-2)²)
= √(4 + 25 + 4)
= √33

Длина стороны ВС = √((x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²)
= √((0-4)² + (-3-(-4))² + (-4-0)²)
= √((-4)² + (1)² + (-4)²)
= √(16 + 1 + 16)
= √33

Длина стороны СД = √((x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²)
= √((-2-0)² + (2-(-3))² + (-2-(-4))²)
= √((-2)² + (5)² + (2)²)
= √(4 + 25 + 4)
= √33

Длина стороны ДА = √((x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²)
= √((2-(-2))² + (1-2)² + (2-(-2))²)
= √((2+2)² + (-1)² + (2+2)²)
= √(16 + 1 + 16)
= √33

Мы обнаружили, что все четыре стороны имеют одинаковую длину, √33. Это свидетельствует о том, что все стороны равны друг другу.

2. Проверка углов:

Следующим шагом нам нужно убедиться, что углы между сторонами четырехугольника также равны.

Для этого мы можем использовать формулу для вычисления косинуса угла между двумя векторами в трехмерном пространстве:

cosθ = (AB · AC) / (||AB|| ||AC||)

Где AB и AC - векторы двух сторон четырехугольника, АВ и АС соответственно, и ||AB|| и ||AC|| - длины этих векторов.

Вычислим косинус угла между сторонами АВ и АС:

AB = [4-2, -4-1, 0-2] = [2, -5, -2]
AC = [0-2, -3-(-4), -4-0] = [-2, 1, -4]

||AB|| = √(2² + (-5)² + (-2)²) = √33
||AC|| = √((-2)² + 1² + (-4)²) = √21

(AB · AC) = (2*-2) + (-5*1) + (-2*-4) = -4 -5 +8 = -1

cosθ = (-1) / (√33 * √21) = -1 / (√693)

Угол ABС: cosθ = -1 / (√693)

Вычислим косинус угла между сторонами ВС и СД:

BC = [0-4, -3-1, -4-(-4)] = [-4, -4, -4]
CD = [-2-0, 2-(-3), -2-(-2)] = [-2, 5, -2]

||BC|| = √((-4)² + (-4)² + (-4)²) = √48 = 4√3
||CD|| = √((-2)² + 5² + (-2)²) = √33

(BC · CD) = (-4*-2) + (-4*5) + (-4*-2) = 8 -20 + 8 = -4

cosθ = (-4) / (4√3 * √33) = -4 / (4√99)

Угол ВСD: cosθ = -4 / (4√99)

Вычислим косинус угла между сторонами СD и ДА:

CD = [-2-2, 5-(-1), -2-2] = [-4, 6, -4]
DA = [2-(-2), 1-2, 2-(-2)] = [4, -1, 4]

||CD|| = ||DA|| = √(4² + 6² + (-4)²) = √(16 + 36 + 16) = √68 = 2√17

(CD · DA) = (-4*4) + (6*-1) + (-4*4) = -16 -6 -16 = -38

cosθ = (-38) / (2√17 * 2√17) = -38 / (4√289)

Угол СДА: cosθ = -38 / (4 * 17) = -38 / 68 = -19 / 34

Мы видим, что косинусы углов ABС, ВСD и СДА не равны друг другу. Это говорит о том, что углы между сторонами четырехугольника не являются равными.

Сводя все это вместе, у нас есть следующие результаты:

- Все стороны АВ, ВС, СД и ДА имеют одинаковую длину √33.
- Углы ABС, ВСD и СДА не являются равными.

Исходя из этих результатов, мы можем сделать вывод, что четырехугольник АВСД не является ромбом.