В правильной треугольной пирамиде боковое ребро с плоскостью основания образует угол 45°. Высота пирамиды равна 18 см. Вычисли сторону основания пирамиды.
Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся знания о треугольниках и правильных треугольных пирамидах.
В правильном треугольнике все стороны равны между собой, и все углы равны 60°. Также известно, что угол между боковым ребром пирамиды и плоскостью основания равен 45°.
Поскольку углы треугольника между собой и сумма всех углов треугольника равна 180°, то угол, образуемый между высотой пирамиды и основанием, будет равен 180° - 45° = 135°.
Теперь мы можем использовать теорему косинусов для вычисления стороны основания пирамиды, обозначим ее за "х". Теорема косинусов гласит:
х² = a² + b² - 2ab*cos(С),
где "х" - сторона основания пирамиды, "а" и "b" - боковые ребра пирамиды, "С" - угол между этими боковыми ребрами. В нашей задаче "а" и "b" равны, а угол "С" равен 135°.
Итак, мы получаем:
х² = a² + a² - 2a*a*cos(135°),
х² = 2a² - 2a²*(-√2/2),
х² = 2a² + a²√2,
х² = 3a² + a²√2.
Теперь нам нужно выразить "а" через высоту пирамиды. В правильной треугольной пирамиде, высота от вершины до основания делит боковое ребро пирамиды пополам, образуя прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора получаем:
(а/2)² + (18)² = a²,
a²/4 + 324 = a²,
3a² = 1296,
a² = 432.
Теперь мы можем подставить это значение обратно в наше уравнение:
х² = 3a² + a²√2,
х² = 3*432 + 432*√2,
х² = 1296 + 432√2,
х² = 1296 + 432*1.414,
х² ≈ 1296 + 609.408,
х² ≈ 1905.408.
Чтобы найти "х", нужно извлечь квадратный корень из обоих сторон уравнения:
х ≈ √1905.408,
х ≈ 43.64.
Следовательно, сторона основания пирамиды равна примерно 43.64 см.
В правильном треугольнике все стороны равны между собой, и все углы равны 60°. Также известно, что угол между боковым ребром пирамиды и плоскостью основания равен 45°.
Поскольку углы треугольника между собой и сумма всех углов треугольника равна 180°, то угол, образуемый между высотой пирамиды и основанием, будет равен 180° - 45° = 135°.
Теперь мы можем использовать теорему косинусов для вычисления стороны основания пирамиды, обозначим ее за "х". Теорема косинусов гласит:
х² = a² + b² - 2ab*cos(С),
где "х" - сторона основания пирамиды, "а" и "b" - боковые ребра пирамиды, "С" - угол между этими боковыми ребрами. В нашей задаче "а" и "b" равны, а угол "С" равен 135°.
Итак, мы получаем:
х² = a² + a² - 2a*a*cos(135°),
х² = 2a² - 2a²*(-√2/2),
х² = 2a² + a²√2,
х² = 3a² + a²√2.
Теперь нам нужно выразить "а" через высоту пирамиды. В правильной треугольной пирамиде, высота от вершины до основания делит боковое ребро пирамиды пополам, образуя прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора получаем:
(а/2)² + (18)² = a²,
a²/4 + 324 = a²,
3a² = 1296,
a² = 432.
Теперь мы можем подставить это значение обратно в наше уравнение:
х² = 3a² + a²√2,
х² = 3*432 + 432*√2,
х² = 1296 + 432√2,
х² = 1296 + 432*1.414,
х² ≈ 1296 + 609.408,
х² ≈ 1905.408.
Чтобы найти "х", нужно извлечь квадратный корень из обоих сторон уравнения:
х ≈ √1905.408,
х ≈ 43.64.
Следовательно, сторона основания пирамиды равна примерно 43.64 см.