Рассмотрим ∆ АВD и ∆ СВЕ
Оба прямоугольные и имеют общий острые угол АВС.
Если прямоугольные треугольники имеют равный острый угол, то такие треугольники подобны.
Из подобия следует отношение
ВЕ:ВD=ВС:АВ⇒ВD•ВС=ВЕ•АВ ⇒
ВЕ:ВС=ВD:АВ
Две стороны ∆ ВЕD пропорциональны двум сторонам треугольника АВС, и угол между ними общий.
2-й признак подобия треугольников:
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны.
Следовательно, ∆АВС и ∆ ВЕD подобны, что и требовалось доказать.
Можно добавить. что коэффициент подобия равен косинусу общего угла, т.к. отношение катетов ∆ СВЕ и ∆ АВД к их гипотенузам соответственно равны косинусу угла В треугольника АВС.
OA=OB=OC (радиусы окружности)
OA=OB=OC=BA=BC => △BAO, △BCO равносторонние => ∠ABO=∠OBC=60 (в равностороннем треугольнике все углы равны 60)
∠ABC=∠ABO+∠OBC=120
∠ADC=180-∠ABC=60 (сумма противолежащих углов вписанного четырехугольника равна 180)
∠BAD=∠DCB=90 (вписанные углы, опирающиеся на диаметр)
2) BH=9; AC=24
AB=BC
AH=AC/2 (в равнобедренном треугольнике высота является медианой)
AB=√(AH^2+BH^2) = √(24^2/4 +9^2) =15
Центр вписанной в треугольник окружности - точка пересечения биссектрис.
Биссектрисы треугольника делятся точкой пересечения в отношении суммы прилежащих сторон к противолежащей, считая от вершины.
BO/OH =(AB+BC)/AC = 2AB/AC =30/24 =5/4
r= OH = BH*4/9 =4
R= AB*BC*AC/2*S = AB*BC/2*BH = 15^2/2*9 =12,5
Проверка:
r*R= AB*BC*AC/2(AB+BC+AC)
15*15*24/2(15+15+24) = 50 = 4*12,5