Рассмотрим рисунок приложения. SABCD по условию правильная четырехугольная пирамида. поэтому её основанием является квадрат, а вершина S проецируется в центр основания (точку пересечения диагоналей).
Апофемой пирамиды называется высота боковой грани правильной пирамиды. все грани которой - равнобедренные треугольники. ⇒ SМ⊥ВС, а по т. о 3-х перпендикулярах её проекция ОМ⊥ВС ⇒ ∆ SОМ - прямоугольный. По т.Пифагора ОМ=4.
О - центр основания, ОМ=0,5 КМ, КМ⊥ВС, ⇒ КМ параллельна и равна АВ, поэтому сторона основания АВ=2•4=8 (ед. длины)
ответ: (85,75√3)/3см³
Объяснение: Обозначим вершины основания пирамиды А В С Д, а её высоту НО. Проведём от точки О отрезок ОС. Высота НО образуют с проэкцией ОС прямоугольный треугольник НОС, в котором НО и ОС - катеты, а СН - гипотенуза, угол С=60°, тогда угол СНО=30°. Катет лежащий напротив него равен половине гипотенузы, поэтому ОС=НС/2=7/2=3,5см
По теореме Пифагора найдём высоту НО: НО²=НС²-ОС²=7²-(3,5)²=49-12,25=36,75; НО=√36,75=√12,25×√3=
3,5√3см
НО=3,5√3
В основе правильной четырёхугольника пирамиды лежит квадрат и если половина его диагонали ОС=3,5, тогда диагональ АС=3,5×2=7см. Так как диагональ квадрата делит его на 2 равных прямоугольных треугольника, то ∆АСД и ∆АВС- равнобедренные, потому что стороны квадрата равны, и сторона квадрата равна стороне прямоугольного треугольника. Теперь вычислим одну из сторон по формуле прямоугольного треугольника: АВ=ВС=СД=АД=АС/√2=
=7/√2см. Найдём площадь квадрата по формуле: S=(7/√2)²=
=49÷2=24,5см²
S=24,5см²
Теперь найдём объем пирамиды, зная площадь основания и высоту пирамиды по формуле: V=⅓×Sосн×h, где h- высота пирамиды:
V=⅓×24,5×3,5√3=⅓×85,75√3=
=(85,75√3)/3см³
Краткое решение:
Угол С=60°, тогда угол СНО=90-60=30°
ОС=7/2=3,5см
По теореме Пифагора НО²=НС²-ОС²=
=......3,5√3см
Диагональ АС=3,5×2=7см
∆АСД и ∆АВС равнобедренные, поэтому:
АВ=ВС=СД=АД=7/√2
Sосн=(7/√2)²=49/2=24,5см²
V=⅓×Sосн×НО=⅓×24,5×3,5√3=
=⅓×85,75√3=(85,75√3)/3см³