1.Из теоремы косинусов находим косинус угла между заданными сторонами x.
10^2 + 12^2 - 2*12*10*x = 34; x = 7/8;
Теперь найдем третью сторону
10^2 + 24^2 - 2*24*10*(7/8) = 256; то есть третья сторона 16.
ПОЛУпериметр треугольника со сторонами 10,16,24 равен 25.
Находим площадь по формуле Герона. 25 - 10 = 15, 25 - 16 = 9, 25 - 24 =1,
корень(25*15*9*1) = 15*корень(15); делим это на полупериметр 25, получаем радиус вписанной окружности r = 3*корень(15)/5.
2. x + y = 12;
x + z = 9;
z + y = 6;
x - y = 3; 2*x = 15, x = 7/2, y = 9/2, z = 3/2;
3. Здесь есть волшебное построение :)) надо провести через вершину меньшего основания прямую II диагонали, которая не содержит эту вершину, а соединяет две других. Большое основание тоже надо продолжить, пока эти прямые не пересекутся. Получится треугольник, у которого сторона, являющаяся продолжением большого основания трапеции, равна сумме оснований трапеции, а две другие стороны - диагонали трапеции. Поскольку нам задано, что это получился прямоугольный треугольник со сторонами 12 и 16, то гипотенуза этого треугольника 20 (тр-к подобен "египетскому" 3,4,5), а средняя линяя трапеции 10.
диагональ основания = а√2, а - сторона основания
пусть диагональ основания - х
сторона основания а√2 = х, а = х√2/2
высота она же апофема равна х/2
тогда угол между несмежными боковыми гранями найдем из равнобедренного треугольника с боковыми сторона (апофемами) х/2
а основание есть сторона основания - х√2/2
отметим угол между плоскостями т.е между апофемами как "α"
опустим высоту в этом треугольника, которая будет делить этот треугольника на 2 равных прямоугольных ..из одного из них найдем sin α/2
sin α/2 = x√2/4 : х/2
sin α/2 = √2/2 т.е 45 градусов
тогда угол α = 90 градусов