Question

Даны вершины треугольника A(1;–1;3), B(3;–4;9), C(–5;11;7).
А) Составить канонические уравнения медианы AP.
Б) Составить уравнение прямой, проходящей через точку В параллельно прямой АС.​

Answer 1

А) Для составления канонического уравнения медианы AP, нам нужно найти середины сторон треугольника и используя эти середины составить уравнение прямой, проходящей через точку A и середину отрезка BC.

1. Найдем середины сторон треугольника.
Для стороны BC:
x = (3 - 5)/2 = -1
y = (-4 + 11)/2 = 3.5
z = (9 + 7)/2 = 8

Середина стороны BC - точка M(-1, 3.5, 8)

Для стороны AC:
x = (1 - 5)/2 = -2
y = (-1 + 11)/2 = 5
z = (3 + 7)/2 = 5

Середина стороны AC - точка N(-2, 5, 5)

2. Составим уравнение прямой, проходящей через точку A(1, -1, 3) и через середину отрезка BC.

Векторная форма уравнения прямой:
r = A + t * (B - A)

где A и B - точки на прямой, r - радиус-вектор точки на прямой, t - параметр.

Вектор AB = B - A = (3 - 1, -4 - (-1), 9 - 3) = (2, -3, 6)

Теперь составим уравнение прямой:
r = (1, -1, 3) + t * (2, -3, 6)
r = (1 + 2t, -1 - 3t, 3 + 6t)

3. Подставим в полученное уравнение координаты середины отрезка BC (точки M) и найдем значение параметра t

(1 + 2t, -1 - 3t, 3 + 6t) = (-1, 3.5, 8)

Составим систему уравнений:
1 + 2t = -1
-1 - 3t = 3.5
3 + 6t = 8

Решим эту систему уравнений:
2t = -2 -> t = -1
-3t = 4.5 -> t = -1.5
6t = 5 -> t = 5/6

С учетом того, что t = -1.5, мы видим, что у нас нет единственного решения.

Составим вектор от точки A до середины отрезка BC:
= M - A = (-1 - 1, 3.5 + 1, 8 - 3) = (-2, 4.5, 5)

4. Составим каноническое уравнение медианы AP.

Уравнение прямой в канонической форме:
(x - x0) / m = (y - y0) / n = (z - z0) / o

где (x0, y0, z0) - координаты точки на прямой, (m, n, o) - направляющие числа, их можно получить из вектора направления.

(x - 1) / -2 = (y + 1) / 4.5 = (z - 3) / 5

Таким образом, каноническое уравнение медианы AP:
(x - 1) / -2 = (y + 1) / 4.5 = (z - 3) / 5

Б) Для составления уравнения прямой, проходящей через точку В(3, -4, 9) и параллельно прямой AC, нам нужно найти направляющий вектор прямой AC и составить уравнение прямой, используя этот вектор и точку B.

Направляющий вектор прямой AC = C - A = (-5 - 1, 11 - (-1), 7 - 3) = (-6, 12, 4)

Уравнение прямой:
r = B + t * (-6, 12, 4)
r = (3, -4, 9) + t * (-6, 12, 4)
r = (3 - 6t, -4 + 12t, 9 + 4t)

Уравнение прямой, проходящей через точку B(3, -4, 9) и параллельно прямой AC:
x = 3 - 6t
y = -4 + 12t
z = 9 + 4t