В ∆ ABC из середины стороны AC восстановлен перпендикуляр, пересекающий сторону AB в точке K. Найдите стороны ВС и AC, если ∠ AKC = 90°, AB = 3,5, а AK : KB = 4 : 3. Численный ответ введите с точностью до второго знака после запятой.
Добрый день, уважаемый школьник!
Давайте разберём эту задачу пошагово, чтобы ответ был для вас понятным.
1) Согласно условию, в треугольнике ABC из середины стороны AC восстановлен перпендикуляр, который пересекает сторону AB в точке K.
2) Обозначим сторону BC как х, а сторону АС как у.
3) Заметим, что ∆AKB подобен ∆KC, так как угол АKВ и угол K одинаковые и ∆AKB также прямоугольный (так как ∠AKC = 90°).
4) Используем известное отношение для подобных треугольников: соотношение длины сторон одного треугольника к сторонам другого треугольника равно соответствующему соотношению длин.
5) Возьмем соотношение углов ∆AKB и ∆KC: AK/BK = KC/CB.
6) Заметим, что AK + BK = AB (по определению условия задачи), а AK/BK = 4/3 (также из условия задачи).
7) Заменим AK в нашем соотношении: (AB - BK)/BK = 4/3.
8) Раскроем скобки и перенесем все слагаемые в одну часть уравнения: AB/BK - 1 = 4/3.
9) Найдём BK: BK = AB / (1 + 4/3).
10) Упростим выражение, добавив числители: BK = AB / (7/3).
11) Упростим дробь: BK = 3AB / 7.
12) Так как AK + BK = AB, найдём AK: AK = AB - BK.
13) Заменим BK в выражении: AK = AB - 3AB / 7.
14) Упростим формулу: AK = (7AB - 3AB) / 7.
15) Упростим числитель: AK = 4AB / 7.
16) Таким образом, мы нашли соотношения сторон треугольника ABK: AK = 4AB / 7 и BK = 3AB / 7.
Давайте разберём эту задачу пошагово, чтобы ответ был для вас понятным.
1) Согласно условию, в треугольнике ABC из середины стороны AC восстановлен перпендикуляр, который пересекает сторону AB в точке K.
2) Обозначим сторону BC как х, а сторону АС как у.
3) Заметим, что ∆AKB подобен ∆KC, так как угол АKВ и угол K одинаковые и ∆AKB также прямоугольный (так как ∠AKC = 90°).
4) Используем известное отношение для подобных треугольников: соотношение длины сторон одного треугольника к сторонам другого треугольника равно соответствующему соотношению длин.
5) Возьмем соотношение углов ∆AKB и ∆KC: AK/BK = KC/CB.
6) Заметим, что AK + BK = AB (по определению условия задачи), а AK/BK = 4/3 (также из условия задачи).
7) Заменим AK в нашем соотношении: (AB - BK)/BK = 4/3.
8) Раскроем скобки и перенесем все слагаемые в одну часть уравнения: AB/BK - 1 = 4/3.
9) Найдём BK: BK = AB / (1 + 4/3).
10) Упростим выражение, добавив числители: BK = AB / (7/3).
11) Упростим дробь: BK = 3AB / 7.
12) Так как AK + BK = AB, найдём AK: AK = AB - BK.
13) Заменим BK в выражении: AK = AB - 3AB / 7.
14) Упростим формулу: AK = (7AB - 3AB) / 7.
15) Упростим числитель: AK = 4AB / 7.
16) Таким образом, мы нашли соотношения сторон треугольника ABK: AK = 4AB / 7 и BK = 3AB / 7.
17) Далее, воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника AKC: AC^2 = AK^2 + KC^2.
18) Знаем, что AK = 4AB / 7 и KC = AB - BK.
19) Заменим значения в формуле: AC^2 = (4AB / 7)^2 + (AB - 3AB / 7)^2.
20) Возводим в квадрат и раскрываем скобки: AC^2 = 16AB^2 / 49 + (AB - 9AB / 49)^2.
21) Сокращаем дроби и складываем слагаемые: AC^2 = 16AB^2 / 49 + (40AB/49)^2.
22) Упростим выражение, перемножив числители: AC^2 = (16AB^2 + 1600AB^2 / 49) / 49.
23) Упростим числитель: AC^2 = (784AB^2 / 49) / 49.
24) Сокращаем дроби: AC^2 = 16AB^2 / 49.
25) Извлекаем квадратный корень: AC = sqrt(16AB^2 / 49).
26) Упростим корень: AC = (4AB / 7) * sqrt(1/49).
27) Заменяем AK на 4AB / 7 в формуле: AC = (4AB / 7) * 1/7.
28) Далее, нам дано, что AB = 3,5. Подставим это значение: AC = (4 * 3,5 / 7) * 1/7.
29) Упростим выражение: AC = (14 / 7) * 1/7.
30) Умножим числители: AC = 14 / 49.
31) Получили численный ответ: AC = 0,2857 (округлим до второго знака после запятой).
32) Также нам требуется найти значение стороны BC. Вспомним, что BC = AB - BK.
33) Заменим значения в формуле: BC = AB - 3AB / 7.
34) Упростим выражение: BC = (7AB - 3AB) / 7.
35) Упростим числитель: BC = 4AB / 7.
36) Подставим AB = 3,5 в формулу: BC = 4 * 3,5 / 7.
37) Упростим выражение: BC = 14 / 7.
38) Получили численный ответ: BC = 2.
Таким образом, мы нашли значения сторон BC и AC треугольника ABC: BC = 2 и AC = 0,2857 (с округлением до второго знака после запятой).