Question

В равнобедренную трапецию вписана окружность. Больший угол трапеции равен 150°, а её высота равна 10 см. Найдите сумму оснований трапеции. ответ дайте в сантиметрах.​

Answer 1

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

1. Нарисуем равнобедренную трапецию:

A
/ \
/ \
/ \
/_______\
B C


Пусть AB и CD - основания трапеции, BC и AD - боковые стороны, и M - точка касания вписанной окружности с AB и CD.

2. Так как трапеция равнобедренная, то BM = CM, поскольку это радиус окружности.

3. Больший угол трапеции равен 150°, следовательно, угол BMC = 360° - 150° = 210°.

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник BMC:

B
/|\
/ | \
/ | \
/___|___\
C M


В треугольнике BMC угол B равен 90° (так как угол вписанный), а угол MBC равен половине угла BMC, то есть 210° / 2 = 105°.

5. Для того чтобы найти основание AB, мы можем использовать теорему синусов в треугольнике BMC:

AB / sin(BMC) = BM / sin(B)

AB / sin(210°) = BM / sin(90°)

AB / sin(210°) = BM

AB / 1 = BM

AB = BM

AB = CM

6. Другими словами, AB и CD равны, поскольку равнобедренная трапеция.

7. Теперь давайте рассмотрим прямоугольный треугольник ADM:

A
/ \
/ \
/ \
D M

В этом треугольнике угол M равен 90° (так как угол вписанный), а угол MAD равен половине угла BMC, то есть 105° / 2 = 52.5°.

8. Мы знаем, что высота трапеции равна 10 см. Высота трапеции равна сумме высот треугольников BMC и ADM.

9. Давайте найдем высоту треугольника BMC, обозначим ее как h1. Мы можем использовать теорему синусов:

h1 / sin(105°) = BM / sin(52.5°)

h1 / sin(105°) = BM

h1 = BM * (sin(105°) / sin(52.5°))

10. Теперь найдем высоту треугольника ADM, обозначим ее как h2. Мы также можем использовать теорему синусов:

h2 / sin(105°) = AM / sin(52.5°)

h2 / sin(105°) = BM

h2 = BM * (sin(105°) / sin(52.5°))

11. Сумма высот треугольников равна высоте трапеции:

h1 + h2 = 10 см

BM * (sin(105°) / sin(52.5°)) + BM * (sin(105°) / sin(52.5°)) = 10 см

2 * BM * (sin(105°) / sin(52.5°)) = 10 см

BM * (sin(105°) / sin(52.5°)) = 5 см

BM = 5 см / (sin(105°) / sin(52.5°))

12. Теперь, когда мы знаем BM, мы можем легко найти основание AB (или CD):

AB = BM = 5 см / (sin(105°) / sin(52.5°))

13. Чтобы найти сумму оснований AB и CD, мы просто сложим их:

AB + CD = 2 * AB = 2 * (5 см / (sin(105°) / sin(52.5°)))

Итак, сумма оснований равна 2 * (5 см / (sin(105°) / sin(52.5°))). Не забывайте, что ответ нужно привести в сантиметрах.