1) Плоскость α проведена через сторону CD прямоугольника АВСD перпендикулярно к его плоскости.
Из точки А к плоскости α проведена наклонная АК =15 см.
Найти расстояние между прямыми ВС и АК, если АВ = 8 см, AD = 9 см, КС = 12 см.
Сделаем рисунок.
Плоскость α перпендикулярна плоскости прямоугольника. ⇒
KD⊥AD и ⊥DC. ∆ АDC - прямоугольный. По т.Пифагора
DK=√(AK*-AD²)=√(225-81)=12
∆CKD равнобедренный.
ВС и АК лежат в разных плоскостях, не параллельны и не пересекаются. Они скрещивающиеся.
Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой.
ВС║AD, AD лежит в плоскости ADK⇒ ВС║плоскости ADC.
Расстояние от любой точки прямой ВС до плоскости ADC одинаково.
Расстоянием от т.С до плоскости является длина перпендикуляра СН, проведенного к прямой DK ( т.к. они лежат в одной плоскости), т.е. высота равнобедренного ∆ СКD.
Площадь ∆ СКD равна половине произведения его высоты КМ на сторону СD.
КМ из прямоугольного ∆ КМС по т.Пифагора равна √128=8√2
S ∆ CKD=8√2•8:2=16√2
CH=2S∆CKD:KD=(8√2)/3 см –это ответ.
–––––––––––––––––––––––––––––––
2) Обозначим данные плоскости α и β
Пусть в плоскости α лежит прямая а, параллельная m -линии пересечения плоскостей, а в плоскости β– прямая b.
Угол между двумя плоскостями - двугранный. Его величина равна линейному углу, образованному двумя лучами, проведенными в плоскостях из одной точки их общей границы перпендикулярно к ней.
Проведем из точки В на m перпендикулярно к ней в плоскостях α и β лучи, пересекающие прямые а и b в точках А и С соответственно. . Т.к. прямые a и b параллельны m, то BA и ВС пересекают их под прямым углом. АВ - расстояние от прямой а до m, СВ - расстояние от b до m.
Искомое расстояние - отрезок АС, проведенный между а и b перпендикулярно к ним.
Проведем в ∆ АВС высоту СН.
СН=СВ•sin30°=√3
ВН=ВС•cos30°=3
В прямоугольном ∆ АСН катет АН=АВ-ВН=5.
По т.Пифагора
АС=√(AH²+CH²)=√(3+25)=2√7 см
В целом у нас получается пирамидка с равносторонним треугольником в основании. Стороны SA,SB,SC равны по 5, а перпендикуляр SM на его плоскость - 4. Точка М равноудалена от всех вершин треугольника, а значит (в случае равностороннего) это точка пересечения медиан/биссектрис/высот. Мы также знаем, что медианы точкой пересечения делятся в соотношении 2:1, считая от вершины.
Итак, рассмотрим прямоугольный треугольник SMA. По теореме Пифагора:
SA²=AM²+SM²
5²=AM²+4²
AM²=5²-4²=25-16=9=3²
AM=3
Значит вся медиана/высота AН (обозначим её так) имеет длину:
АН=3/2 * AM = 4,5
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник АНВ. Зная катет АН и то, что против него лежит угол в 60 градусов, найдём гипотенузу:
АВ = АН*sin60 = 4,5*√3/2 = 9√3 / 4
И периметр треугольника:
P = 3AB = 3*9√3 / 4 = 27√3/4