1) На рисунке 132 MNKP — параллелограмм, АN = PB. Докажите, что АҚBM — параллелограмм. 2) Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке 0, причем OA = 0,6 дм, OB = 3 см, ос= BD = 60 мм. Является ли этот четырехугольник параллелограммом?
1) Для доказательства, что AKBM - параллелограмм, нам нужно использовать предоставленные сведения о параллелограмме MNKP и сравнить его с четырехугольником AKBM.
В параллелограмме MNKP известно, что сторона MN параллельна стороне KP, а сторона NK параллельна стороне MP.
Также известно, что AN = PB.
Нам нужно доказать, что сторона AK параллельна стороне BM, и сторона AB параллельна стороне KM.
1. Для начала, обратимся к треугольнику ANK. Известно, что MN || KP по свойству параллелограмма. Также известно, что AN = PB. Поэтому треугольники ANK и BKP равны по двум сторонам и углу между ними (по стороне-стороне-углу).
Из этого мы можем заключить, что угол ANK = угол BKP.
2. Теперь обратимся к треугольнику AKB. Также известно, что NK || MP по свойству параллелограмма. Так как угол ANK = угол BKP (установлено в предыдущем пункте), и сторона AN = PB, то по стороне-углу-стороне эти два треугольника ANK и BKP также равны.
Это означает, что угол AKB = угол NMP.
3. Поскольку угол AKB и угол NMP равны, а сторона NK || MP, мы можем заключить, что сторона AK параллельна стороне BM.
4. Теперь обратимся к треугольнику ABN. Известно, что MN || KP и AN = PB, а также угол ANK = угол BKP. Это значит, что треугольники ANK и BKP равны по стороне-углу-стороне.
Следовательно, угол ANB = угол BNA.
5. Также обратимся к треугольнику BMA. Из треугольников ANK и BKP, мы знаем, что угол ANK = угол BKP, AN = PB и NK || MP. Следовательно, треугольники ANK и BKP равны по стороне-углу-стороне.
Это означает, что угол BMA = угол MKN.
6. Так как угол ANB = угол BNA и угол BMA = угол MKN, то мы можем заключить, что треугольники ANB и BMA равны по двум сторонам и углу между ними (по стороне-стороне-углу).
Таким образом, мы доказали, что сторона AB параллельна стороне KM, и сторона AK параллельна стороне BM.
Следовательно, четырехугольник AKBM является параллелограммом.
2) Рассмотрим данные о четырехугольнике ABCD.
Известно, что его диагонали пересекаются в точке O, при этом OA = 0.6 дм, OB = 3 см, OS = BD = 60 мм.
Для проверки, является ли данный четырехугольник параллелограммом, нам нужно проверить выполнение двух условий:
1. Диагонали данного четырехугольника должны быть равны по длине.
В данном случае, диагональ BD = 60 мм, а диагональ OS = 60 мм. Значит, первое условие выполняется.
2. Диагонали должны пересекаться пополам.
Для проверки этого условия, нужно вычислить полу-длину диагоналей OA и OB и сравнить их.
В параллелограмме MNKP известно, что сторона MN параллельна стороне KP, а сторона NK параллельна стороне MP.
Также известно, что AN = PB.
Нам нужно доказать, что сторона AK параллельна стороне BM, и сторона AB параллельна стороне KM.
1. Для начала, обратимся к треугольнику ANK. Известно, что MN || KP по свойству параллелограмма. Также известно, что AN = PB. Поэтому треугольники ANK и BKP равны по двум сторонам и углу между ними (по стороне-стороне-углу).
Из этого мы можем заключить, что угол ANK = угол BKP.
2. Теперь обратимся к треугольнику AKB. Также известно, что NK || MP по свойству параллелограмма. Так как угол ANK = угол BKP (установлено в предыдущем пункте), и сторона AN = PB, то по стороне-углу-стороне эти два треугольника ANK и BKP также равны.
Это означает, что угол AKB = угол NMP.
3. Поскольку угол AKB и угол NMP равны, а сторона NK || MP, мы можем заключить, что сторона AK параллельна стороне BM.
4. Теперь обратимся к треугольнику ABN. Известно, что MN || KP и AN = PB, а также угол ANK = угол BKP. Это значит, что треугольники ANK и BKP равны по стороне-углу-стороне.
Следовательно, угол ANB = угол BNA.
5. Также обратимся к треугольнику BMA. Из треугольников ANK и BKP, мы знаем, что угол ANK = угол BKP, AN = PB и NK || MP. Следовательно, треугольники ANK и BKP равны по стороне-углу-стороне.
Это означает, что угол BMA = угол MKN.
6. Так как угол ANB = угол BNA и угол BMA = угол MKN, то мы можем заключить, что треугольники ANB и BMA равны по двум сторонам и углу между ними (по стороне-стороне-углу).
Таким образом, мы доказали, что сторона AB параллельна стороне KM, и сторона AK параллельна стороне BM.
Следовательно, четырехугольник AKBM является параллелограммом.
2) Рассмотрим данные о четырехугольнике ABCD.
Известно, что его диагонали пересекаются в точке O, при этом OA = 0.6 дм, OB = 3 см, OS = BD = 60 мм.
Для проверки, является ли данный четырехугольник параллелограммом, нам нужно проверить выполнение двух условий:
1. Диагонали данного четырехугольника должны быть равны по длине.
В данном случае, диагональ BD = 60 мм, а диагональ OS = 60 мм. Значит, первое условие выполняется.
2. Диагонали должны пересекаться пополам.
Для проверки этого условия, нужно вычислить полу-длину диагоналей OA и OB и сравнить их.
Полу-длина диагонали OA = OA/2 = 0.6 дм / 2 = 0.3 дм.
Полу-длина диагонали OB = OB/2 = 3 см / 2 = 1.5 см.
Таким образом, полу-длина диагонали OA не равна полу-длине диагонали OB.
Поэтому, в данном случае, четырехугольник ABCD не является параллелограммом.