Чтобы определить, при каком значении p векторы а и b перпендикулярны, нам нужно установить условие, что их скалярное произведение равно нулю.
Скалярное произведение двух векторов а и b определяется следующей формулой: а·b = а₁ * b₁ + а₂ * b₂ + а₃ * b₃.
Подставим в эту формулу координаты векторов а и b:
(р * р) + (-2 * 1) + (1 * (-р)) = 0.
Упростим это уравнение:
р² - 2 - р = 0.
Теперь решим это квадратное уравнение относительно р. Для этого приведем его к стандартному виду:
р² - р - 2 = 0.
Так как у нас здесь квадратное уравнение, то мы можем его решить с помощью формулы дискриминанта. Формула дискриминанта имеет вид:
D = b² - 4ac,
где D - дискриминант, а, b и c - коэффициенты из квадратного уравнения ax² + bx + c = 0.
Применяя формулу дискриминанта к уравнению р² - р - 2 = 0, получаем:
D = (-1)² - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9.
Дискриминант равен 9. Используя значение дискриминанта, мы можем определить, какое количество решений имеет наше уравнение.
Если D > 0, то у уравнения два различных корня.
Если D = 0, то у уравнения один корень (у уравнения есть кратный корень).
Если D < 0, то у уравнения нет действительных корней.
В нашем случае D = 9 > 0, поэтому у нашего уравнения должно быть два различных корня.
Теперь найдем сами корни уравнения, используя формулу решения квадратного уравнения:
Скалярное произведение двух векторов а и b определяется следующей формулой: а·b = а₁ * b₁ + а₂ * b₂ + а₃ * b₃.
Подставим в эту формулу координаты векторов а и b:
(р * р) + (-2 * 1) + (1 * (-р)) = 0.
Упростим это уравнение:
р² - 2 - р = 0.
Теперь решим это квадратное уравнение относительно р. Для этого приведем его к стандартному виду:
р² - р - 2 = 0.
Так как у нас здесь квадратное уравнение, то мы можем его решить с помощью формулы дискриминанта. Формула дискриминанта имеет вид:
D = b² - 4ac,
где D - дискриминант, а, b и c - коэффициенты из квадратного уравнения ax² + bx + c = 0.
Применяя формулу дискриминанта к уравнению р² - р - 2 = 0, получаем:
D = (-1)² - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9.
Дискриминант равен 9. Используя значение дискриминанта, мы можем определить, какое количество решений имеет наше уравнение.
Если D > 0, то у уравнения два различных корня.
Если D = 0, то у уравнения один корень (у уравнения есть кратный корень).
Если D < 0, то у уравнения нет действительных корней.
В нашем случае D = 9 > 0, поэтому у нашего уравнения должно быть два различных корня.
Теперь найдем сами корни уравнения, используя формулу решения квадратного уравнения:
р₁ = (-b + √D) / (2a) = (1 + 3) / 2 = 2,
р₂ = (-b - √D) / (2a) = (1 - 3) / 2 = -1.
Таким образом, уравнение р² - р - 2 = 0 имеет два корня: р₁ = 2 и р₂ = -1.
Проверим оба решения путем подстановки их в исходное уравнение:
для р = 2: а(2; -2; 1) · b(2; 1; -2) = 2 * 2 + (-2) * 1 + 1 * (-2) = 4 - 2 - 2 = 0,
для р = -1: а(-1; -2; 1) · b(-1; 1; 1) = (-1) * (-1) + (-2) * 1 + 1 * 1 = 1 - 2 + 1 = 0.
Оба решения подходят, значит, при р = 2 и при р = -1 векторы а и b будут перпендикулярны.