Из прямоугольного треугольника ABD
AD^2=AB^2+BD^2=9+16=25
AD=5
Площадь основания равна 2*площадь ABD=2*(3*4/2)=3*4=12
AD параллельно BC, следовательно параллельно B1C1, поэтому AD принадлежит плоскости AB1C1, и это прямая пересечения плоскости основания с плоскостью AB1C1
Пусть BE высота в треугольнике ABD
Тогда угол B1EB это угол между плоскостью основания и плоскостью AB1C1, так как BE перпендикулярно AD, B1E перпендикулярно AD по теореме о трёх перпендикулярах.
Треугольник B1EB -- прямоугольный треугольник с углом 45 градусов, а следовательно, равнобедренный прямоугольный треугольник, поэтому B1B=BE
Чтобы найти высоту BE выразим площадь треугольника ABD двумя
площадь ABD = AB*BD/2 = AD*BE/2, отсюда
BE=AB*BD/AD=3*4/5=12/5=2,4
Площадь полной поверхности равна
2*площадь основания+площадь боковой поверхности
площадь боковой поверхности = периметр основания умножить на высоту
периметр основания = AB+BC+CD+AD=3+5+3+5=16
тогда площадь боковой поверхности 16*2,4=38,4
площадь полной поверхности
2*12+38,4=24+38,4=62,4
b²-а²=D*d*cos α
где b и а- большая и меньшая стороны, D и d - большая и меньшая диагонали, α - угол между диагоналями.
Подставим известные величины:
36-16= D*d*cos 45º
D*d*cos45º =20
Одна из формул площади параллелограмма S=Dd* sinα:2
Синус и косинус 45º равны⇒
D*d*sin45º =20
S =Dd* sin45º:2=20:2=10(ед. площади)
---------
Данная выше формула выводится из т.косинусов.
-------
Обозначим для удобства большую сторону ВС параллелограмма b, меньшую СD- а, угол COD-α
Рассмотрим треугольник ВОС
Угол ВОС тупой и его косинус отрицательный.
По т.косинусов из ∆ ВОС
ВС²==ВО²+СО² -2ВО*СО*(-cosα)
b²= (d/2)²+(D/2)² + 2(d/2)*D/2*cos α
Из треугольника СОD по т.косинусов
а²=(d/2)²+(D/2)² - 2(d/2)*D/2*cos α
Вычтем из первого уравнения второе:
b²-а²= (d/2)²+(D/2)² + 2(d/2)*D/2*cos α - (d/2)² - (D/2)² + 2(d/2)*D/2*cos α
b²-а²= 4(d/2)*D/2*cosα=4Dd/4)*cos α
b²-а²=D*d*cos α