ответ: 45 градусов.
Объяснение:
Прежде, чем решить задачу - немного теории.
См. верхний рисунок.
Пусть ABC - остроугольный треугольник, H - точка пересечения высот, O - центр описанной окружности.
BB1 - диаметр. Так как B1A перп. AB и CH перп. AB, то CH II AB1; точно также AH II CB1; то есть фигура AHCB1 - параллелограмм.
=> AM = MC; и B1M = MH; другими словами, точка B1 симметрична точке H относительно середины стороны AC.
Точка H1 - пересечение описанной окружности и продолжения высоты BN; B1H1 перпендикулярно BH => B1H1 II AC => MN - средняя линия тр-ка HB1H1; => HN = NH1; другими словами, точка H1 симметрична точке H относительно стороны AC;
Чтобы уж совсем оценить, что доказано, я повторю это словами. Если H - точка пересечения высот остроугольного треугольника, то точки, симметричные H относительно сторон треугольника и середин сторон треугольника, лежат на описанной окружности.
Теперь - решение.
См. нижний рисунок.
Все обозначения прозрачны, поэтому - сразу к сути.
Так как H - точка пересечения медиан треугольника AED, то FH/AH = 1/2; из подобия тр-ков AHN и FPH PH/HM = FH/HA = 1/2; (больше я такие вещи не объясняю, это было сделано для примера).
Так как ED - средняя линия ABC; ED II AB; то CP = PN; легко видеть, что, если PH = x (это просто обозначение), то HN = 2x; CP = 3x; => CH = 4x; => CH/HN = 2/1; ну, и CN = 6x;
=> HN = NC/3;
Если провести через точку H прямую KG II ED (и II AB), то AG/GD = AH/HF = 2/1;
=> точка G - точка пересечения медиан тр-ка ABC (AD - медиана ABC).
Поэтому медиана CM пройдет через точку G, а заодно - и через точку F, потому что среднюю линию она тоже поделит пополам.
Дальше все просто - из того, что EF = FD следует KH = HG; а это, в свою очередь, дает AN = NM; то есть AN = NB/3;
Теперь надо вспомнить теорию. Если описать окружность вокруг ABC, то H1N = NH = NC/3;
Для двух хорд CH1 и AB
AN*NB = H1N*NC; => NC*NC/3 = NB*NB/3; => NC = NB;
треугольник CNB - прямоугольный равнобедренный.
Объяснение:
общем случае, геометрическое место точек формулируется параметрическим предикатом, аргументом которого является точка данного линейного Параметры предиката могут носить различный тип. Предикат называется детерминантом геометрического места точек. Параметры предиката называются дифференциалами геометрического места точек (не путать с дифференциалом в анализе).
Роль дифференциалов во введении видовых различий в фигуру. Количество дифференциалов может быть любым; дифференциалов может и вовсе не быть.
Если заданы детерминант {\displaystyle P(M,\;a,\;b,\;c,\;\ldots )}P(M,\;a,\;b,\;c,\;\ldots ), где {\displaystyle M}M — точка, {\displaystyle a,\;b,\;c,\;\ldots }a,\;b,\;c,\;\ldots — дифференциалы, то искомую фигуру {\displaystyle A}A задают в виде: «{\displaystyle A}A — геометрическое место точек {\displaystyle M}M, таких, что {\displaystyle P(M,\;a,\;b,\;c,\;\ldots )}P(M,\;a,\;b,\;c,\;\ldots )». Далее обычно указывается роль дифференциалов, им даются названия применительно к данной конкретной фигуре. Под собственно фигурой понимают совокупность (множество) точек {\displaystyle M}M, для которых для каждого конкретного набора значений {\displaystyle a,\;b,\;c,\;\ldots }a,\;b,\;c,\;\ldots высказывание {\displaystyle P(M,\;a,\;b,\;c,\;\ldots )}P(M,\;a,\;b,\;c,\;\ldots ) обращается в тождество. Каждый конкретный набор значений дифференциалов определяет отдельную фигуру, каждую из которых и всех их в совокупности именуют названием фигуры, которая задаётся через ГМТ.
В словесной формулировке предикативное высказывание озвучивают литературно, то есть с привлечением различного рода оборотов и т. д. с целью благозвучия. Иногда, в случае детерминантов, вообще обходятся без буквенных обозначений.
Пример: параболу зададим как множество всех таких точек {\displaystyle M}M, что расстояние от {\displaystyle M}M до точки {\displaystyle F}F равно расстоянию от {\displaystyle M}M до прямой {\displaystyle l}l. Тогда дифференциалы параболы — {\displaystyle F}F и {\displaystyle l}l; детерминант — предикат {\displaystyle P(M,\;F,\;l)=(\rho (M,\;F)=\rho _{l}(M,\;l))}P(M,\;F,\;l)=(\rho (M,\;F)=\rho _{l}(M,\;l)), где {\displaystyle \rho }\rho — расстояние между двумя точками (метрика), {\displaystyle \rho _{l}}\rho _{l} — расстояние от точки до прямой. И говорят: «Парабола — геометрическое место точек {\displaystyle M}M, равноудалённых от точки {\displaystyle F}F и прямой {\displaystyle l}l. Точку {\displaystyle F}F называют фокусом параболы, а прямую {\displaystyle l}l — директрисой».