1.
У куба 6 граней. Площадь каждой грани
18:6=3
Площадь одной грани
а²=3
Ребро куба
а=√3
Диагональ куба находят так же, как диагональ любого параллелепипеда:
Квадрат длины диагонали d параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений
a, b, c.
Все измерения этого куба a=b=c= √3
d²=3+3+3=9
d=√9=3
2.
Объем призмы вычисляют по формуле
V=S·h, где S -площадь основания, h - высота призмы.
Так как призма правильная, в ее основании - квадрат со стороной 3 см.
Небоходимо найти высоту призмы. .
Площадь боковой поверхности призмы равна произведению ее высоты на периметр основания.
Sбок=Р·h
Периметр 3·4=12
Высота 48:12=4 см
S основания =3²=9 см²
V=9·4=36 см³
↑АС = ↑р = ↑а + ↑b
↑DB = ↑q = ↑a - ↑b
Чтобы найти угол между векторами p и q, построим вектор, равный вектору q, с началом в точке А.
∠ЕАС - искомый.
Из ΔABD найдем длину вектора q по теореме косинусов:
|↑q|² = AB² + AD² - 2·AB·AD·cos60° = 25 + 64 - 2·5·8·1/2 = 89 - 40 = 49
|↑q| = 7
Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°, значит ∠АВС = 120°.
Из ΔABС найдем длину вектора р по теореме косинусов:
|↑p|² = AB² + BC² - 2·AB·BC·cos120° = 25 + 64 + 2·5·8·1/2 = 89 + 40 = 129
|↑p| = √129
Из ΔЕАС по теореме косинусов:
cos α = (AE² + AC² - EC²) / (2 · AE · AC)
cos α = (49 + 129 - 256) / (2 · 7 · √129) = - 78 / (14√129) = - 39√129 / 903
cos α = - 13√129/301