Пусть M — середина AB, а N — середина BC. Тогда площадь сечения равна площади треугольника SMN. Найдем последовательно SM, MN иSN.
SM и SN — медианы треугольников SAB и SBC соответственно. Т. к. эти треугольники равносторонние (поскольку все ребра пирамиды одинаковой длины),
.
Найдем теперь MN из прямоугольного треугольника MBN. В нем катеты равны 4. Гипотенуза MN, по теореме Пифагора, будет равна .
Теперь найдем площадь равнобедренного треугольника SMN. Для этого проведем высоту SH, по теореме Пифагора равную , и вычислим площадь:
Основание его KM равно половине диагонали основания:
КМ = 3√2/2.
KS и MS - это высоты h1 боковых граней.
KS = MS = √(5² - (3/2)²) = √(25 - (9/4)) = √22,75 ≈ 4,7697.
Искомую площадь треугольника KSM можно определить двумя
- по формуле Герона,
- по высоте h2 и основанию.
По формуле Герона:
р = (2*4,7697 + (3√2/2))/2 ≈ 5,8303562.
S = √(p(p-a)(p-b)(p-c).
Подставив данные, получаем S = 4,93235491 кв.ед.
Высота h2 сечения равна:
h2 =√(4,7697² - ((3√2/2)/2)²) ≈ 4,650269.
S = (1/2) KM*h2 = (1/2)(3√2/2)* 4,650269 ≈ 4,932355 кв.ед.