Пусть сторона равностороннего треугольника равна а см. Высота, проведённая к основанию равностороннего треугольника, является ещё и медианой, поэтому делит основание пополам. Таким образом, образуются 2 прямоугольных треугольника с гипотенузами а, катетом а/2 и общим катетом. Этот общий катет (по совместительству, высота равностороннего треугольника) найдём через теорему Пифагора: . Центр вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника совпадают и находятся в точке пересечения высот треугольника. Этой точкой высоты делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Тогда радиус описанной окружности составляет 2/3 высоты треугольника, а радиус вписанной окружности 1/3 высоты, то есть и соответственно. Разделим радиус вписанной окружности на радиус вписанной окружности и получим 2. Что и требовалось доказать.
1. Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Значит углы треугольника пропорциональны числам 2:2:5 или 2:5:5. Если х- одна часть, то для решения задачи составим уравнения 2х+2х+5х=180 или 2х+5х+5х =180. 9х=180 12х=180 х=20 х=15 углы 40°,40°,100° углы 30°,75°75°.
2. Сумма внешних углов многоугольника,взятых по одному при каждой вершине, равна 360°. Значит, третий из внешних углов равен 360-200=160°. Угол, смежный с ним, 20°. Второй острый угол равен 90-20 = 70°. ответ: углы треугольника 20°,70°,90.
Центр вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника совпадают и находятся в точке пересечения высот треугольника. Этой точкой высоты делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Тогда радиус описанной окружности составляет 2/3 высоты треугольника, а радиус вписанной окружности 1/3 высоты, то есть