Пусть мы имеем треугольник ABC. AB и AC - боковые стороны, BC - основание. AK - высота, опущенная на основание. Итак, в равнобедр. тр. высота является также биссектрисой и медианой, т.е. тр. ABK = тр. ACK, и BK=CK (отрезки основания) Берём один из прямоугольных треугольников и пишем для него теорему Пифагора: 900 = 324 + X^2 (X = отрезок основания) X^2 = 900-324 = 576 = 24^2 X=24 Значит, целое основание = 48 см S = Pr/2, или площадь = периметр*радиус впис./2 S = a*ha/2 (основание на высоту основания и пополам) S = 432 P = 2*30 + 48 = 108
Длины каждого ребра четырёхугольной пирамиды SABCD равны 8 см. Точки N, P, K, F, M, T - середины ребер SA, SB, SC, SD, AD, DC соответственно, AC пересекается с BD в точке О. Вычислите объём призмы NPKFMOTD.
РЕШЕНИЕ:
• NPKFMOTD - наклонная призма, все рёбра которого равны по 4 см. Стороны верхнего основания являются средними линиями боковых граней, стороны нижнего основания равны половине сторон квадрата ABCD. Соответственно, в призме NPKFMOTD в основаниях лежат квадраты, а боковые грани - ромбы. • Для того чтобы найти объём призмы, необходимо знать площадь основания и высоту призмы. • Верхнее основание призмы делит высоту SO данной пирамиды на две равные части, так как в тр. АСS NK - средняя линия. К тому же тр. АСS - равнобедренный, прямоугольный, по тому следствию, что тр. АВС = тр. АСS по трём сторонам. В правильной четырёхугольной пирамиде высота проецирется в центр основания, поэтому АО = ОС = DO = OB. В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая в гипотенузе, равна её половине, то есть АО = ОС = SO. • В тр. АВС: по т. Пифагора АС = V( 8^2 + 8^2 ) = 8V2 см ; AO = OC = AC/2 = 8V2 / 2 = 4V2 см ; SE = EO = SO/2 = AO/2 = 4V2 / 2 = 2V2 см. • V призмы = S mоtd • EO = 4 • 4 • 2V2 = 32V2 см^3 Также можно заметить, что V sabcd = S abcd • SO / 3 => 3•V sabcd = S abcd • SO V призмы = S motd • EO = ( S abcd/4 ) • ( SO/2 ) = S abcd • SO / 8 = 3•V sabcd / 8
Итак, в равнобедр. тр. высота является также биссектрисой и медианой, т.е. тр. ABK = тр. ACK, и BK=CK (отрезки основания)
Берём один из прямоугольных треугольников и пишем для него теорему Пифагора:
900 = 324 + X^2 (X = отрезок основания)
X^2 = 900-324 = 576 = 24^2
X=24
Значит, целое основание = 48 см
S = Pr/2, или площадь = периметр*радиус впис./2
S = a*ha/2 (основание на высоту основания и пополам)
S = 432
P = 2*30 + 48 = 108
r = 2S/P
r = 8 см