Центр вписанной окружности треугольника - точка пересечения биссектрис.
В равностороннем треугольнике все биссектрисы являются также высотами и медианами.
h =a*sin60 =√3/2 a
Медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1 от вершины.
r =1/3 h =√3/6 a
a =6/√3 r =6/√3 *4√3 =24
Или
Точка пересечения биссектрис - центр вписанной окружности (O).
В равностороннем треугольнике все биссектрисы являются также высотами и медианами.
OH=4√3 (радиус), AC=2AH
В треугольнике (AOH) с углами 30, 90 стороны относятся как 1 :√3 :2
(катет против угла 30 равен половине гипотенузы, далее по теореме Пифагора)
AH=OH*√3 => AC=OH*2√3 =4√3 *2√3 =24
Sромба = S прям.
18 · 7 = 14 · х, где х - неизвестная сторона прямоугольника.
х = 18 · 7 /14 = 9 см
P = 2(14 + 9) = 2·23 = 46 cм
2.
Р = 15 + 15 + 24 = 54 см - периметр треугольника
р = 27 см - полупериметр.
По формуле Герона:
S = √(p(p - 15)(p - 15)(p - 24)) = √(27·12·12·3) = 12 · 9 = 108 см²
3.
ΔABD: AB = AD как стороны ромба, ∠BAD = 60°, значит, треугольник равносторонний.
AB = AD = BD = 12 см.
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.
BO = OD = 6 см
ΔАОВ: по теореме Пифагора
АО = √(АВ² - ВО²) = √(144 - 36) = √108 = 6√3 см
АС = 2АО = 12√3 см
4.
Проведем высоту трапеции СН.
ΔHCD: ∠CHD = 90°, ∠CDH = 60°, ⇒ ∠HCD = 30°, тогда
DH = a/2 как катет, лежащий напротив угла в 30°.
по теореме Пифагора СН = √(CD² - DH²) = √(a² - a²/4) = a√3/2.
АН = AB - HD = a/2.
СН = АВ как высоты, СН║АВ как перпендикуляры к одной прямой, значит АВСD - прямоугольник.
BC = AH = a/2
Sabcd = (AD + BC)/2 · CH = (a + a/2)/2 · a√3/2 = 3a/4 ·a√3/2 = 3a²√3/8