Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами равны, то треугольники подобны.
Дано: ∠А = ∠А₁; АВ : А₁В₁ = АС : А₁С₁ . Доказать: ΔАВС подобен ΔА₁В₁С₁. Доказательство: Достроим на стороне АС треугольник АВ₂С, в котором углы, прилежащие к стороне АС, равны углам в треугольнике А₁В₁С₁ (как на рисунке) . Тогда ΔАВ₂С подобен ΔА₁В₁С₁ по двум углам. Запишем отношение сторон в этих треугольниках: АВ₂ : А₁В₁ = АС : А₁С₁. Сравним полученную пропорцию с данной в условии: АВ : А₁В₁ = АС : А₁С₁ Значит, АВ₂ = АВ. Но тогда ΔАВС = ΔАВ₂С по двум сторона и углу между ними (АС - общая, АВ₂ = АВ и ∠А = ∠А₁ = ∠1 по условию). Итак, ΔАВС = ΔАВ₂С, а ΔАВ₂С подобен ΔА₁В₁С₁, значит ΔАВС подобен ΔА₁В₁С₁. Доказано.
Пусть центр окружности будет О, и это точка пересечения диаметров. Треугольники АOD и COE равны - их углы равны: при О - как вертикальные, а острые углы вписанные и опираются на равные дуги, ко всему эти треугольники еще и равнобедренные, и на основании этого тоже углы равны. Треугольник АЕD - прямоугольный по условию. DE - катет, AD - гипотенуза. Из доказанного выше равенства треугольников АD=CB=4, тогда синус А= DE:AD=(√3):4 Острый угол DOВ между диаметрами - центральный угол, который опирается на ту же дугу, что угол DАЕ Следовательно,∠DOВ равен 2* ∠DAB sin∠DAE=DE:AD=(√3):4 Синус DOB найдем по формуле = sin 2α=2*sin(α)*cos(α) Косинус α =АЕ:AD АЕ из прямоугольного треугольника AED по т.Пифагора АЕ=√(16-3)=√13 cos∠DAE=(√13):4 Тогда sin DOB=[2*(√3):4]*[(√13):4])= (√39):8=0,7806 и ∠ DOB=arcsin 0,7806 --------------------------- Или: Треугольник АDB - прямоугольный ( ADB опирается на диаметр АВ). DE в нем высота, квадрат которой равен произведению DE²=АЕ*ВЕ 3=(√13)*ВЕ ВЕ=3:√13 Тогда диаметр равен АЕ+ВЕ=√13+3:√13=16:√13, а радиус ОВ=ОD=8:√13 Тогда синус DOB=DE:OD=(√3):(8:√13)= (√39):8=0,7806 и угол DOB=arcsin 0,7806 По таблице синусов можно найти его градусную величину: 51°20' --------------- И "на закуску" то, с чего можно было начать и остановиться на этом. Ясно, что найдя синус угла DAE, мы можем по таблице найти этот угол, а умножив на два его значение, найти искомый угол DOE. Итак, синус ∠DAE=(√3):4=0,4330. По таблице синусов это синус угла 25° 40'. ⇒ ∠ DOВ=2*25° 40'=51°20' ------ [email protected]
Дано: ∠А = ∠А₁; АВ : А₁В₁ = АС : А₁С₁ .
Доказать: ΔАВС подобен ΔА₁В₁С₁.
Доказательство:
Достроим на стороне АС треугольник АВ₂С, в котором углы, прилежащие к стороне АС, равны углам в треугольнике А₁В₁С₁ (как на рисунке) .
Тогда ΔАВ₂С подобен ΔА₁В₁С₁ по двум углам. Запишем отношение сторон в этих треугольниках:
АВ₂ : А₁В₁ = АС : А₁С₁.
Сравним полученную пропорцию с данной в условии:
АВ : А₁В₁ = АС : А₁С₁
Значит, АВ₂ = АВ.
Но тогда ΔАВС = ΔАВ₂С по двум сторона и углу между ними (АС - общая, АВ₂ = АВ и ∠А = ∠А₁ = ∠1 по условию).
Итак, ΔАВС = ΔАВ₂С, а ΔАВ₂С подобен ΔА₁В₁С₁, значит
ΔАВС подобен ΔА₁В₁С₁.
Доказано.