Перечерти мой рисунок. Далее рассматриваем тр.-ник ECD.В нём EC=CD(следовательно треугольник равнобедренный) и проведён диаметр EK.Нам нужно доказать,что он (EK) перпендикулярен CD.Для этого строим FC и FD,опять равнобедренный треугольник FCD,где FC=FD.Из равенства углов ECD=CDE и FCD=FDC получаем,что ECK=KDE.Выходит,что треугольник ECF и EDF равны по двум сторонам и двум углам между ними.Из этого следует,что угол CEK=DEK. Теперь вернёмся к треугольнику ECD.В нём EK-биссектрисса,а значит и медиана.Отсюда следует,что CK=KD.Теорема доказана.
Трапеция АВСД, уголА=уголВ=90, АВ/СД=4/5=4х/5х, АВ=4х, СД=5х, ВД=20, ВС=у, АД=у+9, проводим высоту СН на АД, АВСН-прямоугольник ВС=АН=у, НД=АД-АН=у+9-у=9, АВ=СН=4х, треугольник НСД прямоугольный, НД в квадрате=СД в квадрате-СН в квадрате, 81=25*х в квадрате-16*х в квадрате, х=3, АВ=СН=4*3=12, СД=5*3=15, треугольник АВД прямоугольный, АД в квадрате=ВД в квадрате-АВ в квадрате, у в квадрате+18у+81=400-144, у в квадрате+18у-175=0, у=(-18+-корень(324+700))/2=(-18+-32)/2, у=14/2=7=ВС, АД=7+9=16, средняя линия=(ВС+АД)/2=(7+16)/2=11,5
Далее рассматриваем тр.-ник ECD.В нём EC=CD(следовательно треугольник равнобедренный) и проведён диаметр EK.Нам нужно доказать,что он (EK) перпендикулярен CD.Для этого строим FC и FD,опять равнобедренный треугольник FCD,где FC=FD.Из равенства углов ECD=CDE и FCD=FDC получаем,что ECK=KDE.Выходит,что треугольник ECF и EDF равны по двум сторонам и двум углам между ними.Из этого следует,что угол CEK=DEK.
Теперь вернёмся к треугольнику ECD.В нём EK-биссектрисса,а значит и медиана.Отсюда следует,что CK=KD.Теорема доказана.