Любое уравнение первой степени, имеющее вид Ax+By+C=0, где А, В, С – некоторые действительные числа (А и В не равны одновременно нулю) определяет прямую линию в прямоугольной системе координат на плоскости. В свою очередь, любая прямая в прямоугольной системе координат на плоскости определяется уравнением, имеющим вид Ax+By+C=0 при некотором наборе значений А, В, С.
Объяснение:
Доказательство
указанная теорема состоит из двух пунктов, докажем каждый из них.
Докажем, что уравнение Ax+By+C=0 определяет на плоскости прямую.
Пусть существует некоторая точка М0(x0, y0), координаты которой отвечают уравнению Ax+By+C=0. Таким образом: Ax0+By0+C=0. Вычтем из левой и правой частей уравнений Ax+By+C=0 левую и правую части уравнения Ax0+By0+C=0, получим новое уравнение, имеющее вид A(x-x0)+B(y-y0)=0. Оно эквивалентно Ax+By+C=0.
Полученное уравнение A(x-x0)+B(y-y0)=0 является необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов
→
n
=(A, B) и
→
M0M
=(x-x0, y-y0). Таким образом, множество точек M(x, y) задает в
Общее уравнение прямой: описание, примеры, решение задач
Содержание:
Общее уравнение прямой: основные сведения
Неполное уравнение общей прямой
Общее уравнение прямой, проходящей через заданную точку плоскости
Переход от общего уравнения прямой к прочим видам уравнений прямой и обратно
Составление общего уравнения прямой
Данная статья продолжает тему уравнения прямой на плоскости: рассмотрим такой вид уравнения, как общее уравнение прямой. Зададим теорему и приведем ее доказательство; разберемся, что такое неполное общее уравнение прямой и как осуществлять переходы от общего уравнения к другим типам уравнений прямой. Всю теорию закрепим иллюстрациями и решением практических задач.
Общее уравнение прямой: основные сведения
Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат Oxy.
Теорема 1
Любое уравнение первой степени, имеющее вид Ax+By+C=0, где А, В, С – некоторые действительные числа (А и В не равны одновременно нулю) определяет прямую линию в прямоугольной системе координат на плоскости. В свою очередь, любая прямая в прямоугольной системе координат на плоскости определяется уравнением, имеющим вид Ax+By+C=0 при некотором наборе значений А, В, С.
Доказательство
указанная теорема состоит из двух пунктов, докажем каждый из них.
Докажем, что уравнение Ax+By+C=0 определяет на плоскости прямую.
Пусть существует некоторая точка М0(x0, y0), координаты которой отвечают уравнению Ax+By+C=0. Таким образом: Ax0+By0+C=0. Вычтем из левой и правой частей уравнений Ax+By+C=0 левую и правую части уравнения Ax0+By0+C=0, получим новое уравнение, имеющее вид A(x-x0)+B(y-y0)=0. Оно эквивалентно Ax+By+C=0.
Полученное уравнение A(x-x0)+B(y-y0)=0 является необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов
→
n
=(A, B) и
→
M0M
=(x-x0, y-y0). Таким образом, множество точек M(x, y) задает в прямоугольной системе координат прямую линию, перпендикулярную направлению вектора
→
n
=(A, B). Можем предположить, что это не так, но тогда бы векторы
→
n
=(A, B) и
→
M0M
=(x-x0, y-y0) не являлись бы перпендикулярными, и равенство A(x-x0)+B(y-y0)=0 не было бы верным.
Общее уравнение прямой: основные сведения
Следовательно, уравнение A(x-x0)+B(y-y0)=0 определяет прямоугольной системе координат на плоскости, а значит и эквивалентное ему уравнение
A
x
+
B
y
+
C
=
0
определяет ту же прямую. Так мы доказали первую часть теоремы.
Приведем доказательство, что любую прямую в прямоугольной системе координат на плоскости можно задать уравнением первой степени
A
x
+
B
y
+
C
=
0
.
Зададим в прямоугольной системе координат на плоскости прямую
a
; точку
M
0
(
x
0
,
y
0
)
, через которую проходит эта прямая, а также нормальный вектор этой прямой
А) NK=10см+3см=13см по свойству параллелограмма NK=MF=13 см так как MN=MP,то MN=10см. MN=KF=10см, так же по свойству параллелограмма. P=13 см+13см+10см+10см_46см б) угол PMF=углу NPM как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых NK и MF и секущей MP. так так NP=MN, то треугольник MNP-равнобедренный, и угол NPM=углу NMP, и равен 41 градусу. угол M=41 градус+ 41 градус=82 градуса. угол М=К по свойству параллелограмма и равен 82 градуса. угол N равен 180 градусов -82 градуса=98 градусов. (180 градусов- так как внутренние односторонние углы при параллельных прямых равно 180 градусов) угол N=F по свойству параллелограмма и равен 98 градусов. в)угол PMF=углу NPM как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых NK и MF и секущей MP. так так NP=MN, то треугольник MNP-равнобедренный, и угол NPM=углу NMP, и равен 41 градусу. и так как MNP=PMF, то МР- биссектриса
Первое, что нужно вспомнить --- радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной... получили прямоугольный треугольник РСО с углом в 30°... про который известно: катет против угла в 30° = половине гипотенузы... из этого же треугольника по определению косинуса можно записать: сos30° = √3 / 2 = СР / РО ---> СР = РО*√3 / 2 или то же самое можно получить по т.Пифагора... а дальше --- известна формула площади треугольника: половина произведения двух сторон на синус угла между ними... sin30° = 1/2
Любое уравнение первой степени, имеющее вид Ax+By+C=0, где А, В, С – некоторые действительные числа (А и В не равны одновременно нулю) определяет прямую линию в прямоугольной системе координат на плоскости. В свою очередь, любая прямая в прямоугольной системе координат на плоскости определяется уравнением, имеющим вид Ax+By+C=0 при некотором наборе значений А, В, С.
Объяснение:
Доказательство
указанная теорема состоит из двух пунктов, докажем каждый из них.
Докажем, что уравнение Ax+By+C=0 определяет на плоскости прямую.
Пусть существует некоторая точка М0(x0, y0), координаты которой отвечают уравнению Ax+By+C=0. Таким образом: Ax0+By0+C=0. Вычтем из левой и правой частей уравнений Ax+By+C=0 левую и правую части уравнения Ax0+By0+C=0, получим новое уравнение, имеющее вид A(x-x0)+B(y-y0)=0. Оно эквивалентно Ax+By+C=0.
Полученное уравнение A(x-x0)+B(y-y0)=0 является необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов
→
n
=(A, B) и
→
M0M
=(x-x0, y-y0). Таким образом, множество точек M(x, y) задает в
Справочник
Прямая, плоскость
Статью подготовили специалисты образовательного сервиса Zaochnik.
Как работает сервис
Наши социальные сети
Общее уравнение прямой: описание, примеры, решение задач
Содержание:
Общее уравнение прямой: основные сведения
Неполное уравнение общей прямой
Общее уравнение прямой, проходящей через заданную точку плоскости
Переход от общего уравнения прямой к прочим видам уравнений прямой и обратно
Составление общего уравнения прямой
Данная статья продолжает тему уравнения прямой на плоскости: рассмотрим такой вид уравнения, как общее уравнение прямой. Зададим теорему и приведем ее доказательство; разберемся, что такое неполное общее уравнение прямой и как осуществлять переходы от общего уравнения к другим типам уравнений прямой. Всю теорию закрепим иллюстрациями и решением практических задач.
Общее уравнение прямой: основные сведения
Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат Oxy.
Теорема 1
Любое уравнение первой степени, имеющее вид Ax+By+C=0, где А, В, С – некоторые действительные числа (А и В не равны одновременно нулю) определяет прямую линию в прямоугольной системе координат на плоскости. В свою очередь, любая прямая в прямоугольной системе координат на плоскости определяется уравнением, имеющим вид Ax+By+C=0 при некотором наборе значений А, В, С.
Доказательство
указанная теорема состоит из двух пунктов, докажем каждый из них.
Докажем, что уравнение Ax+By+C=0 определяет на плоскости прямую.
Пусть существует некоторая точка М0(x0, y0), координаты которой отвечают уравнению Ax+By+C=0. Таким образом: Ax0+By0+C=0. Вычтем из левой и правой частей уравнений Ax+By+C=0 левую и правую части уравнения Ax0+By0+C=0, получим новое уравнение, имеющее вид A(x-x0)+B(y-y0)=0. Оно эквивалентно Ax+By+C=0.
Полученное уравнение A(x-x0)+B(y-y0)=0 является необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов
→
n
=(A, B) и
→
M0M
=(x-x0, y-y0). Таким образом, множество точек M(x, y) задает в прямоугольной системе координат прямую линию, перпендикулярную направлению вектора
→
n
=(A, B). Можем предположить, что это не так, но тогда бы векторы
→
n
=(A, B) и
→
M0M
=(x-x0, y-y0) не являлись бы перпендикулярными, и равенство A(x-x0)+B(y-y0)=0 не было бы верным.
Общее уравнение прямой: основные сведения
Следовательно, уравнение A(x-x0)+B(y-y0)=0 определяет прямоугольной системе координат на плоскости, а значит и эквивалентное ему уравнение
A
x
+
B
y
+
C
=
0
определяет ту же прямую. Так мы доказали первую часть теоремы.
Приведем доказательство, что любую прямую в прямоугольной системе координат на плоскости можно задать уравнением первой степени
A
x
+
B
y
+
C
=
0
.
Зададим в прямоугольной системе координат на плоскости прямую
a
; точку
M
0
(
x
0
,
y
0
)
, через которую проходит эта прямая, а также нормальный вектор этой прямой
→
n
=
(
A
,
B
)
.