Сначала построим линию пересечения плоскости основания и плоскости А1С1Е. Это прямая а, параллельная отрезкам АС и А1С1 (смотри рисунок). Высоту призмы находим ао Пифагору из треугольника: высота(катет)-сторона основания(катет)-диагональ грани(гипотенуза). Высота призмы равна √(5²-4²)=3. Диагональ ВЕ основания равна диаметру описанной вокруг правильного шестиугольника окружности, то есть ВЕ=2*4=8. Тогда КЕ=6. Двугранный угол между плоскостями равен углу образованному прямыми РЕ и КЕ, лежащими в соответствующих плоскостях и перпендикулярными линии а пересечения плоскостей. В прямоугольном треугольнике РКЕ тангенс искомого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему: РК/КЕ=3/6=1/2. ответ: искомый угол равен arctg(0,5). Вариант2 (координатный). Введем систему координат X,Y,Z с началом координат в точке С. Находим по Пифагору отрезок СК=С1Р=√(16-4)=2√3. Получаем координаты точек: Р(0;3;2√3), К(0;0;2√3), E(6;0;2√3). Вычисляем координаты векторов (от координат КОНЦА отнять соответствующие координаты НАЧАЛА) РE{6;-3;0} и KE{6;0;0}. Найдем угол между векторами РЕ и КЕ по формуле cosα=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/[√(x1²+y1²+z1²)*√(x2²+y2²+z2²)] cosα=(36+0+0)/[√(36+9+0)*√(36+0+0)]=36/18√5 = 2/√5. ответ: искомый угол равен arccos(2/√5). Но если нужен ответ через тангенс, найдем его. Sinα=√(1-cos²α) = 1/√5. Тогда tgα=Sinα/Cosα =1/2. ответ: искомый угол равен arctg(0,5). Вариант3. Еще более усложним решение (по условию задающего). Введем систему координат X,Y,Z с началом координат в точке С. Тогда получаем координаты точек: А1(0;3;4√3), C1(0;3;0), E(6;0;2√3). Общее уравнение плоскости имеет вид Ax+By+Cz+D=0. Уравнение плоскости основания Х0Z имеет вид: Y=0. Уравнение плоскости А1С1Е (она параллельна координатной оси 0Z) имеет вид: Ax+By+D=0. Составим уравнение плоскости по трем точкам, используя формулу: |x-0 0-0 6-0 | | x-0 0 6 | |y-3 3-3 0-3 | = 0. Или | y-3 0 -3 | = 0. |z-4√3 0-4√3 2√3-4√3 | | z-4√3 -4√3 -2√3 | Раскрываем определитель по первому столбцу, находим уравнение плоскости: | 0 -3 | | 0 6 | | 0 6 | (x-0)* |-4√3 -2√3| - (y-3)* |-4√3 -2√3 | + (z-4√3)*| 0 -3 | =0.
Отсюда 12√3*(x-0)-24√3*(y-3)+0*(z-4√3)=0. 12√3*x-24√3*y+72√3=0 или x-2y+6=0. Это и есть уравнение плоскости А1С1Е. Если плоскость задана общим уравнением x-2y+6=0, то вектор n1{1;-2;0} является вектором нормали данной плоскости. Вектором нормали плоскости основания является вектор n2{0;1;0}. Угол между плоскостями можно найти через угол между нормальными векторами данных плоскостей. cosα=(0-2+0)/[√(1+4+0)*√(0+1+0)] или cosα=-2/√5. Получили ТУПОЙ угол, но поскольку плоскости при пересечении образуют две пары вертикальных углов, за угол между плоскостями обычно принимают острый угол, поэтому принимаем cosα=2/√5 (так как cos(180-α)=-cosα). ответ, как и во втором варианте: искомый угол равен arccos(2/√5) или arctg(0,5).
Объяснение:1. Измерение отрезков
Две геометрические фигуры (отрезки, углы,
треугольники и др.) считаются равными, если их
можно наложить друг на друга так, чтобы они совпали.
Отрезки равны, если равны их длины.
Если точка лежит на отрезке , то A B C
+ = .
1. На прямой выбраны три точки , и , причём = 3, = 5. Чему может быть равно ?
(Есть разные возможности.)
B Если точка находится между точками и
A B C
3 5
, то это расстояние равно 3+5 = 8. Но возможен и
другой случай, когда находится вне отрезка .
Нарисовав картинку, убеждаемся, что в этом случае
B A C расстояние равно 5 − 3 = 2. C
3 2
2. На прямой выбраны четыре точки , , ,
, причём = 1, = 2, = 4. Чему может
быть равно ? Укажите все возможности.
B Сначала посмотрим, чему может быть равно
расстояние между точками и . Как и в предыдущей задаче, тут есть две возможности (точка
внутри или вне) | и получается либо 3, либо
1. Теперь мы получаем две задачи: в одной из них
= 3 и = 4, в другой | = 1, = 4.
Каждая имеет по два ответа, так что всего ответов
получается четыре: 4+3, 4−3, 4+1 и 4−1. ответ:
расстояние может равняться 1, 3, 5 или 7. C
3. На деревянной линейке отмечены три деле- 0 7 11
ния: 0, 7 и 11 сантиметров. Как отложить с её отрезок в (а) 8 см; (б) 5 см?
B Используя деления 7 и 11, легко отложить 4
сантиметра. Сделав это дважды, получим отрезок
в 8 сантиметров. Отложить 5 сантиметров немного
сложнее: умея откладывать 8 и 7, можно отложить
1 сантиметр. Сделав это 5 раз, получаем