Question

В равнобедренном треугольнике ABC, AC=BC, медианы AE и BK пересекаются в точке M, CM=8CM, AB=5 см. Чему равна площадь треугольника ABC? ​

Answer 1

Для решения этой задачи, нам понадобятся некоторые сведения о равнобедренном треугольнике и медианах.

1. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная из вершины, равна половине основания треугольника. Это значит, что ME = EA и MK = KB.

2. В треугольнике медианы пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1. То есть, если CM = 8, то AM = 2/3 * CM = 16/3 и BM = 1/3 * CM = 8/3.

3. Треугольник, полученный в результате пересечения медиан, делит исходный треугольник на 6 равных треугольников. Этот факт нам понадобится для решения задачи.

Итак, чтобы найти площадь треугольника ABC, нам нужно найти площадь одного из 6 равных треугольников и умножить ее на 6.

Давайте сначала найдем площадь треугольника, образованного медианами AM и BM.

Зная длину медианы AM, можно найти высоту треугольника, опущенную на сторону AB. Для этого можно воспользоваться формулой для высоты треугольника: h = (2 * p) / a, где h - высота, p - полупериметр треугольника, a - длина основания.

В нашем случае, основание треугольника AB = 5, поэтому площадь треугольника AMB равна (5 * h) / 2.

Найдем сначала полупериметр треугольника AMB. Сумма сторон AM и BM равна AM + BM = 16/3 + 8/3 = 24/3 = 8, а значит, полупериметр p равен p = (8 + 5 + 5) / 2 = 9.

Теперь найдем высоту треугольника h, используя формулу для высоты: h = (2 * p) / a = (2 * 9) / 5 = 18 / 5 = 3.6.

Таким образом, площадь треугольника AMB равна (5 * 3.6) / 2 = 9.

Теперь найдем площадь исходного треугольника ABC. Как было сказано ранее, треугольник, образованный медианами, делит исходный треугольник на 6 равных треугольников. Поэтому площадь треугольника ABC равна 9 * 6 = 54.

Ответ: площадь треугольника ABC равна 54 квадратных сантиметра.