93.31. Хорда основи конуса стягує дугу, градусна міра якої до- рівнює 60°. Відрізок, що сполучае вершину конуса із серединою даної хорди, утворює з площиною основи конуса кут 60°. Висо- та конуса дорівнює 3 см. Знайдіть об'єм конуса.
Для решения данной задачи, нам потребуется использовать свойства конуса, геометрические формулы и тригонометрические соотношения.
По условию задачи, данная дуга, градусная мера которой равна 60°, стягивает хорду основы конуса. Также, угол между плоскостью основы конуса и отрезком, соединяющим вершину конуса с серединой данной хорды, равен 60°. Мы знаем, что высота конуса равна 3 см.
Давайте обозначим данную ситуацию на рисунке. Пусть точка A обозначает вершину конуса, точка B - середину хорды, а точка C - точку пересечения отрезка AC с плоскостью основы конуса. Также, пусть точка D находится на хорде таким образом, что AD - высота конуса.
По условию, мы знаем, что угол BAC равен 60° и угол BCA также равен 60°. Далее, поскольку высота конуса равна 3 см, мы можем найти длину отрезка AD с помощью тригонометрии. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD. Угол CAD равен 30°, поскольку угол BAC равен 60°. Таким образом, мы можем воспользоваться тригонометрической функцией тангенса, чтобы найти отношение противоположного катета (длины отрезка AD) к прилежащему катету (высоте конуса).
tg(30°) = AD / 3
AD = 3 * tg(30°)
Теперь мы можем найти длину отрезка AC, используя теорему Пифагора. Поскольку отрезок AC является гипотенузой прямоугольного треугольника ACD, а отрезок AD - одним из катетов, мы можем записать:
AC² = AD² + CD²
Однако, нам неизвестна длина отрезка CD. Однако, угол DCA также равен 60°, поскольку угол BCA равен 60°. Поскольку угол DCA равен углу BAC, то треугольники ADC и ABC являются подобными. Используя это свойство подобных треугольников, мы можем записать:
AC / AD = AB / AC
AC² = AD * AB
Теперь мы можем заменить AD в нашем уравнении:
AC² = 3 * tg(30°) * AB
Таким образом, нам осталось найти длину отрезка AB. Поскольку угол BAC равен 60°, угол BCD - 30° (поскольку дополнительный угол к углу BCA равен 60° - 30° = 30°). Теперь мы можем использовать тригонометрическую функцию синуса, чтобы найти отношение противоположного катета (длины хорды AB) к гипотенузе (длине отрезка BC):
sin(30°) = AB / BC
AB = BC * sin(30°)
Теперь мы можем заменить AB в нашем уравнении:
AC² = 3 * tg(30°) * BC * sin(30°)
Далее, мы можем выразить BC через длину хорды основы конуса с помощью формулы:
BC = 2 * r * sin(α/2)
где r - радиус основы конуса, а α - градусная мера дуги, стягиваемой хордой. Подставим эту формулу:
AC² = 3 * tg(30°) * 2 * r * sin(α/2) * sin(30°)
Теперь у нас есть выражение для AC², которое связывает длину отрезка AC с радиусом основы конуса и градусной мерой дуги, стягиваемой хордой. Чтобы найти объем конуса, нам нужно использовать соотношение между объемом и высотой конуса:
V = (1/3) * π * r² * h
где V - объем конуса, r - радиус основы конуса и h - высота конуса.
Мы знаем, что высота конуса равна 3 см, поэтому нам нужно найти радиус основы конуса r. Для этого мы решим уравнение, найденное ранее:
AC² = 3 * tg(30°) * 2 * r * sin(α/2) * sin(30°)
После нахождения r, мы сможем подставить его в формулу для объема конуса и найти окончательный ответ.
По условию задачи, данная дуга, градусная мера которой равна 60°, стягивает хорду основы конуса. Также, угол между плоскостью основы конуса и отрезком, соединяющим вершину конуса с серединой данной хорды, равен 60°. Мы знаем, что высота конуса равна 3 см.
Давайте обозначим данную ситуацию на рисунке. Пусть точка A обозначает вершину конуса, точка B - середину хорды, а точка C - точку пересечения отрезка AC с плоскостью основы конуса. Также, пусть точка D находится на хорде таким образом, что AD - высота конуса.
По условию, мы знаем, что угол BAC равен 60° и угол BCA также равен 60°. Далее, поскольку высота конуса равна 3 см, мы можем найти длину отрезка AD с помощью тригонометрии. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD. Угол CAD равен 30°, поскольку угол BAC равен 60°. Таким образом, мы можем воспользоваться тригонометрической функцией тангенса, чтобы найти отношение противоположного катета (длины отрезка AD) к прилежащему катету (высоте конуса).
tg(30°) = AD / 3
AD = 3 * tg(30°)
Теперь мы можем найти длину отрезка AC, используя теорему Пифагора. Поскольку отрезок AC является гипотенузой прямоугольного треугольника ACD, а отрезок AD - одним из катетов, мы можем записать:
AC² = AD² + CD²
Однако, нам неизвестна длина отрезка CD. Однако, угол DCA также равен 60°, поскольку угол BCA равен 60°. Поскольку угол DCA равен углу BAC, то треугольники ADC и ABC являются подобными. Используя это свойство подобных треугольников, мы можем записать:
AC / AD = AB / AC
AC² = AD * AB
Теперь мы можем заменить AD в нашем уравнении:
AC² = 3 * tg(30°) * AB
Таким образом, нам осталось найти длину отрезка AB. Поскольку угол BAC равен 60°, угол BCD - 30° (поскольку дополнительный угол к углу BCA равен 60° - 30° = 30°). Теперь мы можем использовать тригонометрическую функцию синуса, чтобы найти отношение противоположного катета (длины хорды AB) к гипотенузе (длине отрезка BC):
sin(30°) = AB / BC
AB = BC * sin(30°)
Теперь мы можем заменить AB в нашем уравнении:
AC² = 3 * tg(30°) * BC * sin(30°)
Далее, мы можем выразить BC через длину хорды основы конуса с помощью формулы:
BC = 2 * r * sin(α/2)
где r - радиус основы конуса, а α - градусная мера дуги, стягиваемой хордой. Подставим эту формулу:
AC² = 3 * tg(30°) * 2 * r * sin(α/2) * sin(30°)
Теперь у нас есть выражение для AC², которое связывает длину отрезка AC с радиусом основы конуса и градусной мерой дуги, стягиваемой хордой. Чтобы найти объем конуса, нам нужно использовать соотношение между объемом и высотой конуса:
V = (1/3) * π * r² * h
где V - объем конуса, r - радиус основы конуса и h - высота конуса.
Мы знаем, что высота конуса равна 3 см, поэтому нам нужно найти радиус основы конуса r. Для этого мы решим уравнение, найденное ранее:
AC² = 3 * tg(30°) * 2 * r * sin(α/2) * sin(30°)
После нахождения r, мы сможем подставить его в формулу для объема конуса и найти окончательный ответ.