по теории об окружностях:
1) угол, с вершиной в центре окружности называется центральный. он равен градусной мере дуги на которую опирается
2) угол, с вершиной на окружности называется вписанным измеряется половиной дуги на которую опирается
3)вписанные углы, опирающиеся на одну дугу - равны
4) центр. углы, опирающиеся на одну дугу - равны
5) вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу
если угол ABC=68, то дуга AC на которую он опирается равна 136, тогда дуга АС, на которую опирается угол СDA равна 224, Угол CDA= 112
угол СAD равен углу CBD т.к они опираются на одну дугу
угол СAD=26
угол ACD равен углу ABD т.к они опираются на одну дугу
угол ACD=42
угол ACB равен углу ADB точно по тому же
и угол СOB равен углу DOA т.к. они вертикальные
обозначим точку пересечения диагоналей четырехугольника ABCD точкой О
треугольник AOD подобен треугольнику COD т к углы равны
1. Стороны РК и РМ треугольника РМК равны, PН его медиана. Найдите углы PHK и KPH, если ∠МРК = 42°.
Треугольник равнобедренный, поэтому РН - медиана, высота, биссектрисса. =>
РHK = 90 гр., KPH = МРК/2 = 42/2 = 21.2. Луч КС биссектриса угла DKВ, а отрезок DK равен отрезку BK. Докажите, что ΔKDC = ΔKBC.
Рассмотрим треугольник KDC и треугольник KBС;
DK = BK, ∠DKC = ∠СКВ - по условию.
КС - общая.
ΔKDC = ΔKBС по двум сторонам и углу между ними.
3. На основании NK равнобедренного треугольника NBK отложены отрезки NA = KC. Докажите, что ∠NBA = ∠KBC.
рассмотрим треугольники NBA и KBC. угол BNA и угол BKC равны как углы при основании равнобедренного треугольника. BN = BK, NA = KC - по условию. треугольники NBA и KBC равны по двум сторонам и углу между ними. из равенства треугольников следует равенство углов NBA и KBC.
4. В окружности с центром О проведены диаметры АС и хорда ВD, пересекающиеся в точке М, причем ВМ = DМ. ∠ВАС = 35°. Найдите угол ВАD.
Соединим точку О с концами хорды BD. OB = OD как радиусы окружности, значит ОМ - медиана и высота равнобедренного треугольника OBD.
То есть, AC⊥BD.
Тогда в треугольнике ABD АМ - медиана и высота, ⇒ ΔABD равнобедренный. Значит АМ еще и его биссектриса.
∠BAD = 2·∠BAC = 2·35° = 70°