(Отметим, что в условии опечатка и N=M - середина АС)
В правильном тетраэдре все грани - правильные треугольники.
М середина АС, ⇒,SM- медиана и высота треугольника ASC,
а ВМ - медиана и высота треугольника АВС.
В равных треугольниках высоты равны.
SM=BM=AB•sin60º= (4√3):2 =2√3⇒
Треугольник SMB- равнобедренный.
О- центр основания⇒т.О – центр вписанной в правильный треугольник окружности и лежит в точке пересечения биссектрис ( для правильного треугольника они же - медианы и высоты).
Тогда МО=МВ:3 ( свойство медианы)=(2√3):3 = 2:√3
По т. Пифагора SO=√(SM² - MO²) = (4√2):√3
Тогда РО=SO:4= √2:√3
Из ∆ МРО по т.Пифагора MP=√(PO² +MO²)=√(2/3+4/3)=√2
sin∠ PMO= PO:MP= (√2 : √2): √3 = 1/√3
Тогда НВ:МВ=1/√3, откуда НВ=2√3•1/√3=2
НВ - половина SB, поэтому МН - медиана ∆ SMB, а т.к. этот треугольник равнобедренный, то МН - его высота и перпендикулярна SB.
Точка Р принадлежит МН, и прямая МР перпендикулярна SB. ч.т.д.
2х=18-3=15
х=15/2=7,5 (см) - не подходит по условию задачи, так как длины сторон должны быть целочисленными.
Значит, 3 см - длина боковой стороны. Длина другой боковой стороны также равна 3 см. Тогда длину основания найдём из уравнения 3+3+х=18, где х - длина основания.
х=18-3-3=12 (см).
ответ: две другие стороны равны 3 см и 12 см.
* Замечу, что такого треугольника не может быть, так как в соответствии с неравенством треугольника сумма меньших сторон любого треугольника должна быть больше большей стороны треугольника. В нашем случае должно быть, чтобы 3+3>12, то есть 6>12, а это ложь.
Поэтому ответом должно быть пустое множество.