В треугольнике KMN известно, что угол N равен 90, угол М равен 30. На катете MN метили точку А такую, что угол КАN равен 60. Найдите катет МN, если NА равен 7 см.
Для доказательства равенства отрезков следует доказать равенство треугольников, образованных указанными отрезками, высотой равнобедренного треугольника,которая как раз соединяет вершину равнобедренного треугольника и середину основания, и сторонами равносторонних треугольников, построенных на сторонах равнобедренного треугольника. Доказательство проводится через признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними. Стороны равны по условию и построению, а углы равны по условию и по тому, что высота в равнобедренном треугольнике является также и биссектрисой.
Отрезки на катетах от гипотенузы до точки касания тоже равны 5 и 12 см. Вторые отрезки, равные между собой, обозначим х. Тогда один катет равен (5 + х) см, а второй - (12 + х) см. По Пифагору (5 + 12)² = (5 + х)² + (12 + х)². Раскрываем скобки: 289 = 25 + 10х + х² + 144 + 24х + х². Получаем квадратное уравнение: 2х² + 34х - 120 = 0. Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:D=34^2-4*2*(-120)=1156-4*2*(-120)=1156-8*(-120)=1156-(-8*120)=1156-(-960)=1156+960=2116; Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня: x_1=(√2116-34)/(2*2)=(46-34)/(2*2)=12/(2*2)=12/4=3; x_2=(-√2116-34)/(2*2)=(-46-34)/(2*2)=-80/(2*2)=-80/4=-20. Отрицательный корень отбрасываем. Тогда катеты равны 5 + 3 = 8 см и 12 + 3 = 15 см. S = (1/2)*8*15 = 60 см².
21 см
Объяснение:
1. По сумме углов треугольника KAN найдем угол NAK. Он равен 30 градусов => NA- половина KA и KA=14 см.
2. По суме углов треугольника KMN найдем угол K. Он равен 60 градусов. Угол K= угол NAK+ угол КАМ=> улог КАМ= 60-30=30 градусов
3. В треугольнике AKM углы AKM и M равны=> он равнобедренный=> АМ= КА= 14 см.
4. MN=NA+AM=7+14=21 cм